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双光楔扫描如图1所示,一般采用两个完全相同的光楔沿光轴匀速旋转。单光楔使入射的光向量产生一定的偏折,易知单光楔绕轴旋转的扫描轨迹为圆形。由光向量的矢量叠加可知,双光楔绕同轴旋转即可获得二维扫描轨迹。扫描轨迹如图2所示,图2(a)是反向旋转的扫描轨迹,图2(b)是同向旋转的扫描轨迹,不同转速下的轨迹分布差异较大。多采用一级近似公式分析扫描轨迹的分布规律,物面上轨迹[10]可表征为:
图 2 双光楔扫描轨迹 (a) f1/f2= −8/5; (b) f1/f2=8/5
Figure 2. Risley prisms scanning trajectory. (a) f1/f2= −8/5; (b) f1/f2=8/5
$$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x=L\delta \left[ {\cos \left( {{\rm{2{\text{π}} }}{f_1}t + {\theta _{{\rm{10}}}}} \right){\rm{ + cos}}\left( {{\rm{2{\text{π}} }}{f_{\rm{2}}}t + {\theta _{{\rm{20}}}}} \right)} \right]} \\ {y=L\delta \left[ {\sin \left( {{\rm{2{\text{π}} }}{f_1}t + {\theta _{{\rm{10}}}}} \right)+\sin \left( {{\rm{2{\text{π}} }}{f_{\rm{2}}}t + {\theta _{{\rm{20}}}}} \right)} \right]} \end{array}} \right.$$ (1) 式中:L为双光楔与物面的距离;δ=(n-1)α为单光楔产生的偏转角,n为光楔的折射率,α为光楔的楔角;f1与f2分别为两光楔的旋转角速度;θ10与θ20分别为两光楔的初始角度。f1与f2同号表示同向旋转,反号表示反向旋转。
在极坐标下,公式(1)可转化为:
$$R = {\rm{2}}L\delta \left| {\cos \left[ {{\text{π}}\left( {{f_{\rm{1}}}{\rm{ - }}{f_2}} \right)t+{{\left( {{\theta _{{\rm{10}}}}{\rm{ - }}{\theta _{{\rm{20}}}}} \right)} / 2}} \right]} \right|\tag{2a}$$ $${\varTheta }=\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\text{π}}\left( {{f_{\rm{1}}}+{f_2}} \right)t+{{\left( {{\theta _{{\rm{10}}}}+{\theta _{{\rm{20}}}}} \right)} / 2}{\rm{ - 2}}k{\text{π}}}&{{\text{π}}\left( {{f_{\rm{1}}}{\rm{ - }}{f_2}} \right)t+{{\left( {{\theta _{{\rm{10}}}}{\rm{ - }}{\theta _{{\rm{20}}}}} \right)} / 2}+{{\text{π}} / {\rm{2}}} \in \left[ {{\rm{2}}k{\rm{{\text{π}} ,}}\left( {{\rm{2}}k+1} \right){\text{π}}} \right)]} \\ {{\text{π}}\left( {{f_{\rm{1}}}+{f_2}} \right)t+{{\left( {{\theta _{{\rm{10}}}}+{\theta _{{\rm{20}}}}} \right)} / 2}{\rm{ + {\text{π}} - 2}}k{\text{π}}}&{{\text{π}}\left( {{f_{\rm{1}}}{\rm{ - }}{f_2}} \right)t+{{\left( {{\theta _{{\rm{10}}}}{\rm{ - }}{\theta _{{\rm{20}}}}} \right)} / 2}+{{\text{π}} / {\rm{2}}} \in \left[ {\left( {{\rm{2}}k+1} \right){\text{π}},{\rm{2}}\left( {k+1} \right){\text{π}}} \right)]} \end{array}} \right.\tag{2b}$$ 式中:k为整数,确保Θ∈[0,2π]。
当两光楔转速可表示为f1 = N1/T,f2 = N2/T,其中T为大于0的实数,N1和N2为互质的整数时,就可产生周期为T的图案。由公式(2a)和(2b)可知,当扫描点从扫描中心开始再回归到扫描中心的一个周期1/|f1−f2|内,角度Θ随时间变化是线性连续的。为便于对整体的扫描轨迹进行分析,定义该周期1/|f1−f2|内的扫描轨迹为一个瓣叶。图2中瓣叶上的序号为随时间变化的瓣叶的序数,图2(b)中虚线轨迹为同向旋转的一个单瓣叶,角度范围大于2π。设Nd = |N1−N2|、Ns = N1+N2,由公式(2a)和(2b)可证一个周期T内的扫描图案包含了Nd个均布的瓣叶。周期扫描图案可由初始瓣叶旋转Nd−1次、每次旋转2π/Nd而得。
当初始角度分别为θ10 = −0.5π,θ20 = 0.5π时,由公式(2a)和(2b)可知起始点的半径值和角度值均为0。初始瓣叶的扫描轨迹可表示为:
$$R\left( {{t_{\rm{m}}}} \right) = {R_{\rm{M}}}{\rm{sin}}\left( {{\text{π}}{t_{\rm{m}}}} \right),\tag{3a}$$ $${\varTheta }\left( {{t_{\rm{m}}}} \right)={{{N_{\rm{s}}}{\text{π}}{t_{\rm{m}}}} / {{N_{\rm{d}}}}}{\rm{ - 2}}k{\text{π}},\tag{3b}$$ 式中:RM = 2Lδ为扫描视场的半径;tm=t/(T/Nd)∈[0,1]为单个瓣叶内扫描点t关于单瓣叶周期T/Nd的比值。周期T内的图案只与Nd和Ns有关,与f1与f2具体大小无关。文中图例中采用较小的数值是为了突出单个瓣叶的形状。
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实际雷达工作中,激光器以固定频率发射光脉冲,物面上实际产生的是对连续轨迹等时间间隔采样的离散扫描点。扫描过程中主要控制参数包括转速大小f1,f2和脉冲发射频率F。由前述分析可知,周期内扫描轨迹分布只与由转速大小f1,f2延伸的参量Nd和Ns有关。而扫描轨迹是不均匀的,因此需明确参量Nd和Ns与轨迹间距的关系。此外由公式(3a)和(3b)可知轨迹上扫描点的分布也是不均匀的,即还需明确脉冲发射频率F对扫描点间距的影响。当轨迹间距和扫描点间距的极大值均小于瞬时视场的大小(面阵探测器在物面上的像)时,就可实现无间隙的覆盖扫描。
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由图3可知,轨迹交点间距是一定区域的轨迹间距极值,可分为周向和径向两类交点间距,如弧矢线段P22P32和线段P21P33。
周期扫描图案具有旋转对称特性,且由公式(3a)和(3b)可知单瓣叶具有轴对称特性,因而仅分析如图3所示的黑色区域内的间距即可。该区域由两相邻瓣叶tm∈[0,1/2]上的轨迹形成,相对时间tm相同时,空间相邻瓣叶的角度相差2π/Nd。由公式(3a)和(3b)可得交点的相对时间为:
$${t_{\rm{m}}}\left( j \right) = {1 / 2}{\rm{ - }}{j / {{N_{\rm{s}}}}} $$ (4) 式中:j∈[1, floor(Ns/2)]为交点序数,floor(Ns/2)为单瓣叶tm∈[0,1/2]上的轨迹的交点数。定义视场外围半径为RM的点也是一个交点,此时j=0。由公式(3a)和(4)可以得到交点的半径值Rj=RMcos(jπ/Ns)。周向交点间距可表示为2πRj/Nd,j=0时有最大值2πRM/Nd,仅与Nd有关。
相邻瓣叶上交点序数j间隔为2的交点具有相同的角度值,位于同一半径上,如图3中点P21和点P33所示。径向交点间距为同一半径上的相邻交点的半径差,Rj−Rj+2。由公式(3a)和(4)可知,当Ns的奇偶性不同时,径向交点间距最大值的表示略有不同,但均可近似表示为2πRM/Ns,其中Ns≥4。径向交点间距的最大值仅与Ns有关。
反向旋转中Ns<Nd,径向交点间距大于周向交点间距,单瓣叶呈径向分布,轨迹间距考虑周向间距极大值即可。同理,同向旋转的单瓣叶呈周向分布,轨迹间距考虑径向分布即可。
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如图4(a)所示,反向旋转的单瓣叶呈径向分布,扫描点间距可表征为两点半径的差值。如图4(b)所示,同向旋转的单瓣叶呈周向分布,扫描点间距可表征为两点之间的圆周距离。
图 4 扫描点分布特征。 (a) 反向旋转f1/f2=14/13; (b) 同向旋转f1/f2=14/13
Figure 4. Distribution characteristics of scanning points. (a) In the counter-rotation f1/f2=-14/13; (b) In the co-rotation f1/f2=14/13
首个瓣叶的扫描点的相对时间tm可表示为:
$${t_{\rm{m}}}={{\left( {m{\rm{ - 1}}} \right)} / {\left( {{M / {{N_{\rm{d}}}}}} \right)}} $$ (5) 式中:m为单瓣叶上扫描点的序数;M为周期内的扫描点的总点数,可知F=M/T。由公式(3a)和(5)可知,反向旋转中初始两点的半径差最大,约为RMNdπ/M。由公式(3b)可知,单瓣叶内扫描点是等角度间隔分布的,角度间隔为Nsπ/M。同向旋转中,扫描点间距可表征为RMsin(tmπ)Nsπ/M,最外围的扫描点间距有极大值RMNsπ/M。
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反向旋转的轨迹间距的极大值为2πRM/Nd,位于视场边缘;扫描点间距的极大值为RMNdπ/M,位于视场中心。同向旋转的轨迹间距的极大值为2πRM/Ns,位于视场中心;扫描点间距的极大值为RMNsπ/M,位于视场边缘。当瞬时视场大小I、轨迹间距极大值和扫描点间距极大值相等时,由间距的极大值可获得单帧图像的扫描参数:Nd,Ns,M。
反向旋转中
$${N_{\rm{d}}}={{{\rm{2{\text{π}} }}{R_{\rm{M}}}} / I},M = ceil\left( {{{{N_{\rm{d}}}} / 2}} \right){N_{\rm{d}}},$$ (6) 式中:ceil()为向上取整。可知当参数Nd一定时,不同Ns具有相同的总点数M,Ns=1时的N1, N2最小。同向旋转中
$${N_{\rm{s}}}={{{\rm{2{\text{π}} }}{R_{\rm{M}}}} / I},M = ceil\left( {{{{N_{\rm{s}}}} / 2}} \right){N_{\rm{s}}},$$ (7) 当参数Ns一定时,Nd=1时的N1, N2最小。
已知单帧图像的扫描参数Nd,Ns和M,再根据实际的转速条件或脉冲发射频率条件确定合适的周期T,继而获得具体的转速f1,f2和脉冲发射频率F。
将总点数M和理想无重叠所需的最小点数定义为冗余度re,其中理想无重叠所需的最小点数为当扫描点按光栅式扫描紧密排列时所需的点数,可近似为总扫描面积和瞬时视场面积的比值π(RM)2/ I2,此处忽略了边缘点的影响。由公式(6)和(7)可知,反向旋转和同向旋转的冗余度re都可简化为:
$${r_{\rm{e}}} = {M / {\left( {{{{\text{π}}R_{\rm{M}}^2} /{{I^2}}}} \right)}} \approx {\rm{2{\text{π}} }}$$ (8) 由公式(6)~(8)可知,相同条件下,反向旋转的Nd与同向旋转的Ns是相等的,后需确定的扫描参数也是相等的。即全视场覆盖时,同向旋转和反向旋转的扫描点分布虽有差异,但除了旋转方向不同外具有相同的扫描参数和扫描冗余。
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周期扫描图案在全视场覆盖时具有固有冗余度re ≈ 2π,扫描点相互存在较多的重叠,可根据双光楔扫描点的分布特征采取特定方式降低冗余,提高扫描效率。反向旋转中轨迹间距的最大值和同向旋转中扫描点间距的最大值均位于视场边缘,可通过减少瓣叶数或单瓣总点数,进而降低扫描点的冗余。特殊地,同向旋转Nd = 1时只有一个瓣叶,可发现半个瓣叶轨迹即可布满整个视场。
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由图4可知,反向旋转中保持单瓣叶扫描点数不变可确保视场中心覆盖,减少瓣叶数Nd将使扫描图案呈部分视场覆盖,视场边缘产生间隙,但同时将降低无间隙区域内的扫描点的重叠。为确定合适的无间隙区域的范围,对轨迹间距随半径变化的特征进行探究。
如图3中弧矢线段Din和Dout所示,tm相同时相邻瓣叶的周向间距总是被相交的瓣叶轨迹一分为二。由瓣叶的对称性和均匀分布特征以及公式(3a)和(3b)可得:
$$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{D_{{\rm{in}}}}\left( {{t_{\rm{m}}}} \right)=\left[ {{N_{\rm{s}}}\left( {{\rm{1 - 2}}{t_{\rm{m}}}} \right){\rm{ - 2}}j} \right]\sin ({\text{π}}{t_{\rm{m}}}){{{\text{π}}{R_{\rm{M}}}} / {{N_{\rm{d}}}}}} \\ {{D_{{\rm{out}}}}\left( {{t_{\rm{m}}}} \right)=\left[ {{\rm{2}}\left( {j{\rm{ + 1}}} \right) - {N_{\rm{s}}}\left( {{\rm{1 - 2}}{t_{\rm{m}}}} \right)} \right]\sin ({\text{π}}{t_{\rm{m}}}){{{\text{π}}{R_{\rm{M}}}} / {{N_{\rm{d}}}}}} \end{array}} \right.$$ (9) 式中:tm∈[tm(j+1), tm(j)],j∈[0, floor(Ns/2)−1]。将tm时的轨迹间距的极大值与全视场覆盖时轨迹间距极大值2πRM/Nd的比值记为η,由公式(9)可得:
$$\eta = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left[ {{N_{\rm{s}}}\left( {{\rm{1 - 2}}{t_{\rm{m}}}} \right){\rm{ - 2}}j} \right]\sin ({\text{π}}{t_{\rm{m}}})} / {\rm{2}}}\begin{array}{*{20}{c}} {}&{{D_{{\rm{in}}}}\left( {{t_{\rm{m}}}} \right) > {D_{{\rm{out}}}}\left( {{t_{\rm{m}}}} \right)} \end{array}} \\ {{{\left[ {{\rm{2}}\left( {j{\rm{ + 1}}} \right) - {N_{\rm{s}}}\left( {{\rm{1 - 2}}{t_{\rm{m}}}} \right)} \right]\sin ({\text{π}}{t_{\rm{m}}})} / {\rm{2}}}\begin{array}{*{20}{c}} {}&{{D_{{\rm{in}}}}\left( {{t_{\rm{m}}}} \right) < {D_{{\rm{out}}}}\left( {{t_{\rm{m}}}} \right)} \end{array}} \end{array}} \right.$$ (10) 由公式(9)和(10)可知,轨迹间距随tm(半径)变化的变化特征仅与参数Ns相关。
记r=R/RM=sin(πtm)为归一化半径,r∈[0, 1],并将 (0, r)内比值η的极大值记为max(η)。部分视场覆盖时,无间隙区域内的轨迹间距的极大值可表征为max(η) 2πRM/Ndp,Ndp为部分视场覆盖时的总瓣数。无间隙区域内的轨迹间距的极大值和全视场覆盖时的轨迹间距的极大值2πRM/Nd应当相等,可得总瓣数和总点数各自的比值为:
$${{{N_{{\rm{dp}}}}} / {{N_{\rm{d}}}}}={{{M_{\rm{p}}}} / M} = \max \left( \eta \right)$$ (11) 式中:Mp为部分视场覆盖时的总点数。由公式(11)可知,相对于全视场覆盖,半径r一定时,max(η)可表征部分视场覆盖时冗余降低的程度,max(η)越小,冗余降低效果越好。max(η)的最小值对应的Ns即为部分覆盖时的参数Nsp。由此可获得部分覆盖时单帧扫描图像的参数:Ndp、Nsp和Mp。
图5显示了Ns分别为1~8时,比值η随半径r的变化特征。图5中有两条斜率分别为1和1/2的直线,可知r/2≤η≤r。其中曲线与斜率为1的直线相交的点表征交点,交点处比值η有极大值。由图5可知,Ns越大,交点越多,无间隙区域内的max(η)越大。可由公式(9)、(10)论证,当r∈(0.6,0.84)时,Ns=2,有最小的max(η)。当r∈(0.85,0.96)时,Ns=3,有最小的max(η)。
图 5 不同Ns下η随归一化半径r的变化特征。(a) Ns= 1 ~ 4; (b) Ns = 5 ~ 8
Figure 5. Variation characteristics of η with normalized radius r at different Ns. (a) Ns = 1-4;(b) Ns = 5-8
由图5(a)可知,η极大值处对应的最大半径处有冗余极小值。Ns=3时,max(η)=0.55,r≈0.92,效果最优。但当按设定参数仿真时发现内部可能存在空隙,如图6所示。这是由于瞬时视场在扫描面上的投影的方形的四边总是水平或竖直的,当瓣叶位于非坐标轴方向时,竖直或水平方向的间距将增大,扫描图案可能存在空隙,45°方向上的间距最大。
由公式(3)和(5)可得相邻扫描点的径向间距约为Icos(tmπ),周向间距可表征为I(η/max(η))。则45°方向上竖直间距D可表征为:
$$D=0.707I\left[ {\cos \left( {{t_{\rm{m}}}{\text{π}}} \right) + \left( {{\eta / {\max (\eta )}}} \right)} \right]$$ (12) 全视场覆盖时,max(η)=1,又η≤r=sin(tmπ),由公式(12)可知D≤I,即全视场内部不存在空隙。
由图5可知,Ns = 2或3时,比值η于r ≈ 0.65处有极值,此时cos(tmπ)≈0.75。由公式(12)和图5(a)可论证,竖直距离D和比值η关于tm具有相同的单调性。若确保视场内部不存在空隙,则比值η的极值处确保D ≤ I,由公式(12)可得η/max(η) ≤ 0.66。
由图5(a)可知,Ns = 2时,r ≈ 0.65处η ≈ 0.37,可得max(η)≥0.55。max(η) ≈ 0.55时,由图5(a)可知半径r ≈ 0.86。当总瓣数和总点数取值全视场覆盖时的0.55倍时, r ≤ 0.86范围内不存在空隙。同理Ns = 3时,当总瓣数Nd和总点数取值全视场覆盖时的0.85倍时, r ≤ 0.99范围内不存在空隙,冗余降低较少。
由于空隙的存在,部分视场覆盖下反向旋转Ns = 2时在r = 0.86处有较低的冗余。此时max(η) ≈ 0.55,与全视场覆盖相比较,冗余约降低了一半。
由公式(6)可知全视场覆盖时,参数Nd和半径RM呈正比;扫描总点数M和半径RM的平方呈正比。当有效扫描范围和瞬时视场大小保持不变时,可通过修正双光楔的折射率或楔角,使得修正后扫描范围是原来的1/0.86倍。全视场覆盖时,修正后所需的参数Nd为原来的1/0.86倍;总点数M为原来的(1/0.86)2倍,则Ns = 2的部分视场覆盖时所需的总点数是修正前全视场覆盖总点数的0.55×(1/0.86)2 ≈ 0.74倍。即当调节总视场范围,使得有效扫描视场和分辨率保持不变时,冗余仍可降低1/4,同时增大了扫描范围。
同向旋转可通过减少单瓣叶的扫描点数目实现部分覆盖。由扫描点间距分析可知,比值Mp/M = r,相当于图5中η = r的斜线,同向旋转通过缩小视场降低冗余的程度低于反向旋转。
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仿真可发现,当扫描起始点总是位于扫描中心或视场边缘,即初始角度θ10,θ20的差值为π的整数倍时,Nd = 1的同向旋转在半周期内可实现全视场覆盖。
Nd = 1时,周期扫描图案只有一个瓣叶。由瓣叶的轴对称性质可知,半个周期内扫描点即可遍历整个扫描范围。如图4(b)所示,‘*’表征前半个瓣叶的扫描点,‘Δ’表征后半个瓣叶的扫描点。当总点数M如公式(7)取值时,扫描点位于不同的半径上。由扫描点等角度分布可知,半周期内同一半径上相邻点间隔了2ceil(Ns/2)个扫描点。由公式(5)可知,径向两点之间的时间差为2/Ns,由公式(3)可得径向间距约为Icos(tmπ)。周向的相邻扫描点的间距可表征为Isin(tmπ)。则45°方向上的竖直距离D=0.707(Icos(tmπ)+Isin(tmπ)) ≤ I,即半周期内扫描图案全覆盖时视场内部不存在空隙。
将半个瓣叶可定义为一帧,相对于全视场覆盖,扫描点冗余降低一半,帧频提高一倍。
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设探测器的面阵单元为32×32,并要求总视场达512×512,则瞬时视场大小和总视场的比值I /2RM为1/16。假设脉冲发射频率F ≤ 50 kHz。
若视场角要求为10°,则双光楔的偏转角2δ为5°,光楔的折射率n = 1.5,可知光楔的楔角α = 5°。
由公式(6)可得反向旋转中全视场覆盖时的参数:Nd ≥ 51,取Ns = 1时,可得N126,N2 = 25。随后可得总点数M ≥ 1326,其中单瓣总点数为26。则帧频F/M可达37 frame/s,所需的转速f1 = 962 r/s,f2 = 925 r/s。
半周期的同向旋转具有相同的参数f1, f2和F,但帧频相对提升了1倍,可达74 frame/s。
反向旋转部分覆盖时有效覆盖范围为r≤0.86。若保持有效视场为10°,实际扫描视场应达到11.6°。若光楔折射率n保持为1.5,则楔角α需增至5.8°。全视场覆盖时,Nd ≥ 51/0.86=59,M ≥ 1770。当Ns = 2的部分覆盖时,max(η) ≈ 0.55,由公式(11)可得,Ndp ≥ 32,Mp ≥ 974。可得N1 = 17,N2 = 15,帧频可达51 frame/s。所需的转速f1 = 867 r/s,f2 = 765 r/s,此时10°内的视场无空隙存在。
全视场覆盖、半周期的同向旋转和部分覆盖的反向旋转的帧频依次为37、74 、51 frame/s。两个方案均可有效提高扫描效率。
Determination and optimization of Risley prisms scanning parameters in laser 3D imaging
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摘要: 在激光三维成像雷达中,双光楔扫描是一种常用的扫描方式,具有能耗小、精度高、抗震性好等优点,并可有效减小系统的体积。但其扫描轨迹复杂,扫描点存在较大的冗余。首先基于一级近似公式研究了扫描轨迹的规律,随后分析了扫描轨迹间距和扫描点间距的变化特征,最终确定了全视场覆盖时的双光楔扫描参数,并由轨迹分布特征给出了降低冗余的方案。结果表明,全视场覆盖时,反向旋转和同向旋转具有相同的最小冗余2π,除旋转方向外,其他扫描参数完全相同。有效扫描视场和分辨率一定时,特定转速对下,部分覆盖的反向旋转可减小1/4的冗余;半周期的同向旋转可减小1/2的冗余。冗余降低的同时提升了成像的帧频。Abstract: Risley prisms in laser 3D imaging radar can effectively reduce the size and weight of the system, which have the advantages of low energy consumption, high precision, and vibration insensitivity. However, the scanning trajectory is complicated, and there is a large amount of redundancy in the scanning points. Firstly, the distribution law of scanning trajectories was studied based on the first-order approximation formula. The variation characteristics of the distance between the scanning trajectories and the distance between the discrete scanning points were then analyzed. Finally, the system scanning parameters for full field of view coverage were obtained. The results show that when full field of view is covered, the counter-rotation and co-rotation have the same system scanning parameters and both have the same minimum redundancy 2π and identical scanning parameters except for the direction of rotation. When the effective scanning field of view and resolution are fixed, at specific speed pair, the partial coverage of the counter-rotation can reduce 1/4 of the redundancy and half-period co-rotation can reduce half of the redundancy. The reduction of redundancy means that the imaging frame rate is increased.
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Key words:
- laser scanning system /
- Risley prisms /
- redundancy /
- image analysis
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