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位相叠加效应对连续位相板束匀滑特性的影响

杨春林

杨春林. 位相叠加效应对连续位相板束匀滑特性的影响[J]. 红外与激光工程, 2020, 49(9): 20190515. doi: 10.3788/IRLA20190515
引用本文: 杨春林. 位相叠加效应对连续位相板束匀滑特性的影响[J]. 红外与激光工程, 2020, 49(9): 20190515. doi: 10.3788/IRLA20190515
Yang Chunlin. Influence of phase additive effect on beam smoothing character of continuous phase plate[J]. Infrared and Laser Engineering, 2020, 49(9): 20190515. doi: 10.3788/IRLA20190515
Citation: Yang Chunlin. Influence of phase additive effect on beam smoothing character of continuous phase plate[J]. Infrared and Laser Engineering, 2020, 49(9): 20190515. doi: 10.3788/IRLA20190515

位相叠加效应对连续位相板束匀滑特性的影响

doi: 10.3788/IRLA20190515
详细信息
    作者简介:

    杨春林(1972-),男,副研究员,硕士,主要从事位相光学元件的相关理论及设计方面的研究。Email:yangchunlin@hotmail.com

  • 中图分类号: O439

Influence of phase additive effect on beam smoothing character of continuous phase plate

  • 摘要: 在大型激光系统的运行过程中,为了对相位畸变导致的焦斑分布不均匀进行改善,在光路通常会使用连续位相板(CPP) 来进行远场束匀滑。根据CPP 面型的随机特性,利用统计的方法对位相板与畸变波前相位的叠加特性进行了计算,系统研究了连续位相板对光束波前分布实现控制的机理。从CPP面形的概率密度与远场直方图之间的关系出发,推导了畸变波前通过CPP 后远场光强分布的表达式,从理论上解释了这种束匀滑器件的工作原理及特性。通过数值模拟计算了不同畸变光束经过CPP后的远场直方图,对结果进行比较并分析了不同面型特性对最终束匀滑效果的影响。结果证明:位相板能在焦斑光强上起到卷积滤波的作用,从而实现光束匀滑效果。从原理上解释了CPP 在具有小相关长度时具有更高匀滑效果这一特性,为实际面型设计和优化提供理论基础。另外,应用统计几何光学方法进行分析,可有效降低波前叠加分析的难度。
  • 图  1  CPP应用光路

    Figure  1.  Application light path of CPP

    图  2  一维CPP面型及焦斑

    Figure  2.  Surface figure and focus of a 1D CPP

    图  3  大深度畸变波前A及其焦斑

    Figure  3.  A big deep aberration wavefront A and its focal spot

    图  4  小深度畸变波前B及其焦斑

    Figure  4.  A small aberration wavefront B and its focal spot

    图  5  畸变A通过CPP的焦斑。(a)$hist(\nabla \phi + \nabla {\phi _A})$计算结果;(b) $hist(\nabla \phi )*hist(\nabla {\phi _A})$计算结果

    Figure  5.  Focal spot of distortion A passing through CPP. (a) Calculation result of $hist(\nabla \phi + \nabla {\phi _A})$; (b) Calculation result of $hist(\nabla \phi )*hist(\nabla {\phi _A})$

    图  6  畸变B通过CPP的焦斑。(a)$hist(\nabla \phi + \nabla {\phi _B})$计算结果;(b) $hist(\nabla \phi )*hist(\nabla {\phi _B})$计算结果

    Figure  6.  Focal spot of distortion B passing through CPP. (a) Calculation result of $hist(\nabla \phi + \nabla {\phi _B})$; (b) Calculation result of $hist(\nabla \phi )*hist(\nabla {\phi _B})$

    图  7  二维CPP面型${\phi _{cpp}}$及其焦斑

    Figure  7.  2D CPP ${\phi _{cpp}}$ and its focal spot

    图  8  二维畸变波前 ${\phi _{abb}}$及其焦斑

    Figure  8.  2D distortion wavefront ${\phi _{abb}}$ and its focal spot

    图  9  二维畸变通过CPP的焦斑。(a) $hist(\nabla {\phi _{CPP}} + \nabla {\phi _{abb}})$计算结果;(b) $hist(\nabla {\phi _{CPP}})*hist(\nabla {\phi _{abb}})$计算结果

    Figure  9.  Focal spot of 2D distortion passing through CPP. (a) Calculation result of $hist(\nabla {\phi _{CPP}} + \nabla {\phi _{abb}})$; (b) Calculation result of $hist(\nabla {\phi _{CPP}})*hist$($\nabla {\phi _{abb}}$)

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出版历程
  • 收稿日期:  2019-11-15
  • 修回日期:  2019-12-08
  • 网络出版日期:  2020-09-22
  • 刊出日期:  2020-09-25

位相叠加效应对连续位相板束匀滑特性的影响

doi: 10.3788/IRLA20190515
    作者简介:

    杨春林(1972-),男,副研究员,硕士,主要从事位相光学元件的相关理论及设计方面的研究。Email:yangchunlin@hotmail.com

  • 中图分类号: O439

摘要: 在大型激光系统的运行过程中,为了对相位畸变导致的焦斑分布不均匀进行改善,在光路通常会使用连续位相板(CPP) 来进行远场束匀滑。根据CPP 面型的随机特性,利用统计的方法对位相板与畸变波前相位的叠加特性进行了计算,系统研究了连续位相板对光束波前分布实现控制的机理。从CPP面形的概率密度与远场直方图之间的关系出发,推导了畸变波前通过CPP 后远场光强分布的表达式,从理论上解释了这种束匀滑器件的工作原理及特性。通过数值模拟计算了不同畸变光束经过CPP后的远场直方图,对结果进行比较并分析了不同面型特性对最终束匀滑效果的影响。结果证明:位相板能在焦斑光强上起到卷积滤波的作用,从而实现光束匀滑效果。从原理上解释了CPP 在具有小相关长度时具有更高匀滑效果这一特性,为实际面型设计和优化提供理论基础。另外,应用统计几何光学方法进行分析,可有效降低波前叠加分析的难度。

English Abstract

    • 在大型激光系统的运行过程中,由于光学元件的加工误差、外界环境的振动、空气扰动等不可避免的客观因素的存在,对输出的激光光束产生明显的相位调制,形成光束波前的相位畸变[1-3]。相位畸变最直接的影响是降低光束质量,使其聚焦特性受到影响。因此,为了在远场能够获得均匀的焦斑分布,必须在系统中采用束匀滑技术,尽量避免激光焦斑不均匀对物理应用的影响[4-6]。目前,在光路中加入连续位相板(CPP)是实现束匀滑的一种行之有效的技术途径[7]。如何评价CPP的束匀滑性能是指导元件设计、优化应用光路的前提,因此,有必要从CPP的工作机理出发,对其匀滑特性进行系统的分析。

      众所周知,CPP元件设计的出发点,是要在激光系统中实现匀滑、散斑和整形等效果。其中的匀滑效果,是指能降低远场光强的中高频分量(散斑除外),使焦斑包络更均匀。为了得到更好的应用效果,束匀滑效应需要给出确切的理论解释。目前,国内外关于CPP的研究主要集中在束匀滑方案选择[8-10]和束匀滑实验[11- 12]方面,而关于其匀滑机理方面的理论分析方面则没有见到系统的分析。文中从统计的角度出发,利用几何光学理论对CPP的匀滑机理和特性分析进行详细讨论。

    • 研究CPP的匀滑特性,实际上就是分析畸变波前与CPP面形之间的相位叠加。如图1所示,在光路中,在聚焦透镜前放置CPP,从而实现改善焦斑质量的目的。

      图  1  CPP应用光路

      Figure 1.  Application light path of CPP

      在标量衍射理论下,相位叠加后的远场满足傅里叶变换关系。设畸变波前相位为${\phi _1}$,CPP面形相位为${\phi _2}$,叠加后的波前位相是$\phi $,则有:

      $$\phi = {\phi _1} + {\phi _2}$$ (1)
      $${E_\phi } = F\{ \exp [ - j\phi ]\} = {E_{\phi 1}}*{E_{\phi 2}}$$ (2)
      $${I_\phi } = {\left| {{E_\phi }} \right|^2}$$ (3)

      式中:E为远场光振幅;${I_\phi }$为远场光强;F{}为傅里叶变换;*为卷积。

      从公式上看,复振幅的卷积看上去像是匀滑,实际上,干涉散斑也包含在公式(2)中,而散斑既不均匀也不平滑,所以不能根据卷积运算来解释CPP的匀滑机理。这里笔者利用梯度直方图来对这一现象进行解释,梯度直方图可以认为是几何光学描述下的角谱,CPP面型梯度方向对应角谱方向,直方图则对应角谱的相对强度[13]

      $${I_\phi } = hist(\nabla \phi )$$ (4)

      式中:hist( )为直方图计算;$\nabla $为梯度计算,在一维情况下实际上计算的是斜率;${I_\phi }$为CPP的角谱,也可以认为是焦斑光强。注意到公式(4)中的焦斑光强${I_\phi }$与公式(3)中的不完全一致,实际上描述的是公式(3)的包络,或者说低通滤波结果。这是由于几何光学方法忽略了光学位相,因此,不含干涉效应。

    • 根据大数定律可知,在足够多独立实验的情况下,概率密度函数等于实验直方图。由于CPP的孔径尺寸远大于随机面型的自相关长度,在物理上是满足大数定律的。可以将CPP面形函数的概率密度与其远场直方图之间的关系表示为:

      $$hist(\xi ) = PDF(\xi )$$ (5)

      式中:$\xi $为一个随机函数,表示了CPP的面形。另外两个独立随机变量${\xi _1}$${\xi _2}$之和的概率密度等于各自概率密度的卷积,可以写为:

      $$PDF({\xi _1} + {\xi _2}) = PDF({\xi _1})*PDF({\xi _2})$$ (6)

      虽然CPP的面型具有随机分布的特性,但一个已经加工好的元件其表面数据是确定的,因此,可以将任意一个CPP看做随机函数的一个实例。

      如果笔者把公式(4)中的$\phi $$\nabla \phi $看作随机变量,可以令$\nabla \phi = \xi $。此外,${\phi _1}$${\phi _2}$分别代表CPP和其他输入(比如加工误差)面型,注意到${\phi _1}$${\phi _2}$是完全独立无关的随机量,满足公式(5)的条件,于是根据公式(1)、(4)~(6)可以推得:

      $$hist(\nabla \phi ) = hist(\nabla {\phi _1})*hist(\nabla {\phi _2})$$ (7)

      公式的物理意义是叠加后的焦斑包络等于叠加前焦斑包络的卷积。注意到卷积就是匀滑,就是低通滤波。这意味着通过CPP的畸变光束,其远场光强将被去掉很多中高频成分。这样,最终得到了CPP匀滑的数学解释。

      与公式(2)的形式相比较,公式(7)描述的是光强包络的卷积而非振幅卷积。在大小相当的情况下,具有平顶焦斑的CPP和具有高斯焦斑的CPP比较,后者的匀滑能力要更强,因为前者对应到频谱空间是一个sinc函数的滤波器,有一些残留高频部分,而后者是高斯函数滤波器,基本没有残留的高频部分。

      应用统计几何光学方法分析CPP,与常规的标量衍射方法相比,简化了焦斑计算,降低了波前叠加分析的困难,得到了关于CPP匀滑的数学公式。这对匀滑特性的物理图像有一个更清晰的描述和解释。

    • 为了直观地给出公式(7)所表述的结论,利用数值运算对CPP的束匀滑特性进行了模拟。

      首先计算一维CPP的特性,利用随机函数生成一个短相关长度的一维CPP面型$\phi $,如图2(a)所示,另外,再生成两个长相关长度的随机波前畸变,图3(a)是一个畸变深度较大的波前A,将其标识为${\phi _A}$图4(a)则给出了一个畸变深度较小的波前B,将其标识为${\phi _B}$。对应图2(b)图3(b)图4(b),则是利用公式(4)计算的3个面型的远场焦斑分布,也就是光强角谱。其中符号$\nabla \phi $是面型梯度,它刚好对应角谱的方向。CPP的焦斑非常接近高斯函数,这是由面型的统计特性决定的。

      图  2  一维CPP面型及焦斑

      Figure 2.  Surface figure and focus of a 1D CPP

      图  3  大深度畸变波前A及其焦斑

      Figure 3.  A big deep aberration wavefront A and its focal spot

      图  4  小深度畸变波前B及其焦斑

      Figure 4.  A small aberration wavefront B and its focal spot

      由图可见,畸变波前对应的焦斑其分布非常不稳定的,而且随着畸变深度的增大,焦斑的畸变也越严重,因此需要加入CPP对其进行束匀滑处理。

      利用公式(4)可以计算得到畸变波前经过CPP后的焦斑分布。首先将CPP面型与畸变A直接叠加,然后计算其远场,结果如图5(a)所示;另外分别对CPP和畸变波前A的焦斑进行计算,然后再将两个焦斑进行卷积,计算结果如图5(b)所示。

      图  5  畸变A通过CPP的焦斑。(a)$hist(\nabla \phi + \nabla {\phi _A})$计算结果;(b) $hist(\nabla \phi )*hist(\nabla {\phi _A})$计算结果

      Figure 5.  Focal spot of distortion A passing through CPP. (a) Calculation result of $hist(\nabla \phi + \nabla {\phi _A})$; (b) Calculation result of $hist(\nabla \phi )*hist(\nabla {\phi _A})$

      同样,畸变B经过CPP匀滑后的远场焦斑计算结果如图6所示。从计算结果可看出,两者的确非常相似,包括形状相似,宽度相当。这就验证了公式(7)的正确性。

      图  6  畸变B通过CPP的焦斑。(a)$hist(\nabla \phi + \nabla {\phi _B})$计算结果;(b) $hist(\nabla \phi )*hist(\nabla {\phi _B})$计算结果

      Figure 6.  Focal spot of distortion B passing through CPP. (a) Calculation result of $hist(\nabla \phi + \nabla {\phi _B})$; (b) Calculation result of $hist(\nabla \phi )*hist(\nabla {\phi _B})$

      由于畸变A的深度比较大,其原始焦斑也紊乱程度也更为严重,焦斑的实际分布范围更大,通过CPP后虽然也实现了焦斑的匀滑,但相比畸变B的匀滑效果,其焦斑中仍保留了较多低频畸变成份。而畸变B的深度较小,原始焦斑的大小与CPP焦斑大小相当,这种情况下,CPP实现了较为明显的匀滑效果,非常接近高斯分布。比较图5图6可知,随着入射畸变波前的深度增加,同一个CPP的匀滑效果会变差。如果CPP的相关长度越短,其面形的随机性就越突出,这样在位相叠加过程中,对畸变波前的处理能力就会越强[14]。因此,在设计CPP时,可以通过减小空间尺度的方法来扩大入射畸变深度的适用范围。

      利用一维CPP对公式(7)进行验证后,用一个实际的二维CPP和畸变波前做一个数值模拟。

      图7给出了一个典型的二维CPP的面型,图8则是一个随机二维波前畸变。从图中可以看出,两个位相分布都具有明显的随机特性,但是CPP的相关长度远远小于波前畸变。长相干长度的波前畸变对应的焦斑具有相当混乱的光强分布,因此实际应用中必须对其进行匀滑处理。当畸变波前经过CPP后,在远场获得的焦斑分布如图9所示。

      图  7  二维CPP面型${\phi _{cpp}}$及其焦斑

      Figure 7.  2D CPP ${\phi _{cpp}}$ and its focal spot

      图  8  二维畸变波前 ${\phi _{abb}}$及其焦斑

      Figure 8.  2D distortion wavefront ${\phi _{abb}}$ and its focal spot

      图  9  二维畸变通过CPP的焦斑。(a) $hist(\nabla {\phi _{CPP}} + \nabla {\phi _{abb}})$计算结果;(b) $hist(\nabla {\phi _{CPP}})*hist(\nabla {\phi _{abb}})$计算结果

      Figure 9.  Focal spot of 2D distortion passing through CPP. (a) Calculation result of $hist(\nabla {\phi _{CPP}} + \nabla {\phi _{abb}})$; (b) Calculation result of $hist(\nabla {\phi _{CPP}})*hist$($\nabla {\phi _{abb}}$)

      对比图8中的焦斑分布,畸变波前经过CPP后,焦斑光强分布得到了显著的匀滑。两种计算方法得到的结果从形状、尺寸上是相似的。但图9的计算及结果含有更多细碎成份,也就是高频分量,这一点与前面一维情况是相同,但是二维情况由于显示的原因更突出。这种差别也体现了公式(7)的近似程度,因此,直接使用直方图这种几何统计方法得到的结果还是存在近似性。虽然用直方图统计在CPP匀滑过程分析中是一种近似的方法,但是其理论模型更直接,分析过程明晰,能够对CPP的束匀滑机理、特性进行更加直观和简洁的说明。

    • 文中在几何光学基础上,应用统计方法(即直方图)分析了CPP的束匀滑特性。与常规的标量衍射方法相比,简化了焦斑计算,降低了波前叠加分析的困难。使用梯度直方图进行统计,可以直接描述面型或者波前的远场角谱。由于这种方法并不考虑光的相干性,而CPP实际应用又恰好是其去相干作用,因此,该方法在分析CPP的束匀滑机理时是非常适合的,同时又避免了衍射积分过程的复杂推导和计算。

      根据物理图像和数学推导,得到了CPP束匀滑分析的统计解析表达式。CPP的面型作用与畸变波前后,两个相位叠加后的远场光强包络等于各自远场光强包络的卷积。而卷积在数学上的意义就是匀滑性,在物理上对应着低通滤波的能力,这就对CPP的匀滑机理进行了解释。数值计算还表明,针对相关长度确定的CPP,如果畸变和它对应的焦斑都非常大,其匀滑性能将会下降。

参考文献 (14)

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