-
如图1所示,紫外激光信号收发模型是将紫外激光信号的发射端
${T_X}$ 和接收端${R_X}$ 固定在同一位置上,图中将收发位置设为坐标原点。发射端向灰霾粒子发出激光光束,紫外激光与灰霾发生散射,${S_n}$ 为第n次散射点。紫外激光波长为266 nm,峰值功率由发端发射的光子数决定,紫外激光光束发散半角和接收端接收孔径等参数在初始化中进行设定。 -
文中灰霾粒子的分布服从对数正态分布,其粒子尺度谱分布的概率密度函数为:
$$n(r) = \frac{1}{{r\sqrt {2{\text{π}}} \ln \sigma }}\exp \left[ { - \frac{{{{\log }^2}({r / {{r_m}}})}}{{2{{(\ln \sigma )}^2}}}} \right]$$ (1) 式中:
$n(r)$ 表示单位体积内粒径在$r$ 处单位半径间隔内的相对粒子数;${r_m}$ 为众数半径,取值0.05 μm;$\sigma $ 为标准差,取值1.095 27。灰霾粒子的Mie散射系数以及吸收系数可表示为:
$${k_{SM}} = N\int\limits_{{r_{\min }}}^{{r_{\max }}} {{C_s}(r)n(r)} {\rm{d}}r$$ (2) $${k_{AM}} = N\int\limits_{{r_{\min }}}^{{r_{\max }}} {{C_a}(r)n(r)} \rm{d}r$$ (3) 式中:
$N$ 是单位体积内的灰霾粒子个数;${C_s}(r)$ 和${C_a}(r)$ 分别表示单个粒子的散射和吸收截面;${r_{\min }}$ 和${r_{\max }}$ 分别表示灰霾粒子尺度谱半径的最小值和最大值。总的消光系数${k_e} = {k_{SM}} + {k_{AM}} + {k_{SR}} + {k_{AR}}$ ,总的散射系数${k_s} = {k_{SM}} + {k_{SR}}$ ,总的吸收系数${k_a} = {k_{AM}} + {k_{AR}}$ ,${k_{AR}}$ 是Rayleigh吸收系数,${k_{SR}}$ 是Rayleigh散射系数。散射相函数表示光子在与散射粒子发生碰撞后在各个方向的散射强度,根据散射粒子的不同,可分为大气分子Rayleigh散射相函数和灰霾粒子的Mie散射相函数。Rayleigh散射相函数表达式为:
$${P_R}(\cos \beta ) = \frac{{3\left[1 + 3\gamma + (1 - \gamma ){{\cos }^2}\beta \right]}}{{4(1{\rm{ + }}2\gamma )}}$$ (4) 式中:
$\beta $ 是光子散射夹角;$\gamma $ 是模型参数。为了切确地体现灰霾粒子对紫外激光的后向散射特性,灰霾粒子散射相位函数的不对称因子
${g_*}$ 由$ < \cos \beta > $ 的表达式来推算[12]:$${g_*} = \frac{5}{9} < \cos \beta > - \left(\frac{4}{3} - \frac{{25}}{{81}} < \cos \beta { > ^2}\right){x^{ - {1 / 3}}} + {x^{{1 / 3}}}$$ (5) 其中
$x$ 表达式为:$$\begin{split} x = &\frac{5}{9} < \cos \beta > + \frac{{125}}{{729}} < \cos \beta { > ^3} + \\ &{\left(\frac{{64}}{{27}} - \frac{{325}}{{243}} < \cos \beta { > ^2} + \frac{{1\;250}}{{2\;187}} < \cos \beta { > ^4}\right)^{{1 / 2}}} \\ \end{split} $$ (6) 在已知粒子谱分布的概率密度函数
$n(r)$ 的条件下,服从粒子尺度谱分布的散射相函数不对称因子${g_{n(r)}}$ 可表示为:$${g_{n(r)}} = \frac{{\int\limits_{{r_{\min }}}^{{r_{\max }}} {{g_*}(r){C_s}(r)n(r)\rm{d}r} }}{{\int\limits_{{r_{\min }}}^{{r_{\max }}} {{C_s}(r)n(r)\rm{d}r} }}$$ (7) 所以,服从谱分布的灰霾粒子散射相函数为:
$${P_{n(r)}}(\cos \beta ) = \frac{3}{{8{\text{π}}}}\frac{{\left(1 - {g_{n(r)}}^2\right)\left(1 + {{\cos }^2}\beta \right)}}{{\left(2 + {g_{n(r)}}^2\right){{\left(1 + {g_{n(r)}}^2 - 2{g_{n(r)}}\cos \beta \right)}^{{3 / 2}}}}}$$ (8) 因此,紫外激光探测灰霾时,总的散射相函数表达式为:
$$P(\cos \beta ) = \frac{{{k_{SR}}}}{{{k_S}}}{P_R}(\cos \beta ) + \frac{{{k_{SM}}}}{{{k_S}}}{P_{n(r)}}(\cos \beta )$$ (9) -
为了更准确地计算光子传输时每次散射的新位置和散射方向,文中对
$xyz$ 坐标系进行了坐标系变换。如图1所示,通过绕$z$ 轴旋转${\alpha _t}$ 角度,绕$y'$ 轴旋转$\dfrac{{\text{π}}}{2} - {\theta _t}$ 角度,得到新的坐标系$x'y'z'$ ,新坐标系的$z'$ 轴与接收视场椎体${C_r}$ 的中心轴一致。坐标系$xyz$ 与变换后的新坐标系$x'y'z'$ 的关系式为:$$\left[ \begin{array}{l} x' \\ y' \\ z' \end{array} \right] = H\left[ \begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array} \right]$$ (10) 式中:
$H$ 为坐标系变换矩阵,表达式为:$$H = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \left(\dfrac{{\text{π}} }{2} - {\theta _t}\right)\cos {\alpha _t}} \!\!&\!\!{\cos \left(\dfrac{{\text{π}}}{2} - {\theta _t}\right)\sin {\alpha _t}}\!\!&\!\!{ - \sin \left(\dfrac{{\text{π}}}{2} - {\theta _t}\right)} \\ { - \sin {\alpha _t}}\!\!&\!\!{\cos {\alpha _t}}\!\!&\!\!0 \\ {\sin \left(\dfrac{{\text{π}}}{2} - {\theta _t}\right)\cos {\alpha _t}}\!\!&\!\!{\sin \left(\dfrac{{\text{π}}}{2} - {\theta _t}\right)\sin {\alpha _t}}\!\!&\!\!{\cos \left(\dfrac{{\text{π}}}{2} - {\theta _t}\right)} \end{array}} \right]$$ (11) 如图1所示,某个传输光子的传输方向与
$x'y'z'$ 坐标系的$z'$ 轴所成夹角为$\theta $ ,投影与$x'$ 轴所成夹角为$\psi $ ,则光子的传输方向可由$(\theta ,\psi )$ 表示。设${\xi ^{(1)}}$ 、${\xi ^{(2)}}$ 是[0,1]上均匀分布的随机变量,$\gamma $ 是激光发端发散半角,则:$$\cos \theta = 1 - {\xi ^{(1)}}(1 - \cos \gamma )$$ (12) $$\psi = 2{\text{π}}{\xi ^{(2)}}$$ (13) 因此,光子在新坐标系
$x'y'z'$ 中的传输方向余弦为:$$({u_{x'}},{u_{y'}},{u_{z'}}) = (\sin \theta \cos \psi ,\sin \theta \sin \psi ,\cos \theta )$$ (14) 由公式(10)可知,光子在
$xyz$ 坐标系中的传输方向余弦为:$$\left[ \begin{array}{l} {u_x} \\ {u_y} \\ {u_z} \end{array} \right] = {H^{ - 1}}\left[ \begin{array}{l} {u_{x'}} \\ {u_{y'}} \\ {u_{z'}} \end{array} \right]$$ (15) -
紫外激光在灰霾中传输时与散射粒子随机发生碰撞,光子两次碰撞之间的路程如公式(16)所示:
$${r_n} = \frac{{ - \ln {\xi ^{(t)}}}}{{{k_e}}}$$ (16) 式中:
${\xi ^{(t)}}$ 为在[0,1]上平均分布的随机变量。由于发端在坐标原点,所以光子的第一次散射点${S_1}$ 在$xyz$ 坐标中可表示为:$$({x_{{S_1}}},{{\rm{y}}_{{S_1}}},{z_{{S_1}}}) = (0,0,0) + {r_0}({u_x},{u_y},{u_z})$$ (17) 式中:
${r_0}$ 为发端与第一次散射点${S_1}$ 的距离。光子在${S_1}$ 发生散射的散射角为${\beta _1}$ 可由公式(18)求出:$${\xi ^{(s)}} = 2{\text{π}} \int_{ - 1}^{\cos {\beta _1}} {P(\cos \beta )} {\rm{d\cos }}\beta $$ (18) 式中:
${\xi ^{(s)}}$ 为在[0,1]上平均分布的随机变量;$P(\cos \beta )$ 为散射相函数。由图1可知,再以第一次散射点
${S_1}$ 为坐标原点,进行第二次坐标系变换,得到坐标系$x''y''z''$ 。光子在${S_1}$ 发生散射的散射角为${\beta _1}$ ,根据公式(17)和(18)可以得到光子下一次散射点${S_2}$ 在$xyz$ 坐标系中的位置坐标和散射角${\beta _2}$ ,按照这种推导,依次求出多次散射后的位置坐标和散射角${\beta _n}$ 。 -
紫外光子经过灰霾粒子的多次散射最终到达后向接收端,需要满足以下3个条件:1)最后一次散射点在接收端接收视场角内;2)光子传输方向指向接收面;3)光子必须经过灰霾粒子散射,传输距离为
${r_n}$ 。如图1所示,最后一次散射点${S_n}$ 在后向接收端接收视场角内即(${\zeta _n} < {\varPhi}$ ),紫外光子才有可能到达后向接收端,光子指向后向接收端接收面的概率为:$${P_{1n}} = \frac{{A\cos {\zeta _n}}}{{4{\text{π}}r_n^2}}P(\cos {\beta _n})$$ (19) 式中:
$A$ 是接收孔径面积;$P(\cos {\beta _n})$ 是光子最后一次散射时的散射相函数。紫外光子必须经过灰霾粒子散射,传输距离为${r_n}$ 的概率为:$${P_{2n}} = \exp ( - {k_e}{r_n})$$ (20) 所以,紫外光子经过散射后能够被后向接收端捕获的概率为:
$${P_n} = {W_n}{P_{1n}}{P_{2n}}$$ (21) 式中:
${W_n}$ 是光子到达后向接收端之前的存活概率,可表示为:$${W_n} = (1 - {P_{{{n - 1}}}})\exp ( - {k_a}\left| {{s_n} - {s_{n - 1}}} \right|){W_{n - 1}}$$ (22) 紫外光子在灰霾中传输时,发生散射的概率为
${k_s}/{k_e}$ ,将光子第一次散射之前的存活概率设为${W_0}$ (${W_0} = {k_s}/{k_e}$ ),随着散射次数增加,光子存活概率变小。紫外光子在到达后向接收端之前,可能经历$N$ 次散射,所以一个紫外光子最多经过$N$ 次散射到达后向接收端的总概率为:$${P_N} = \sum\limits_{n = 1}^N {{P_n}} $$ (23) 因此,光子从发射端发出直至最终被后向接收端捕获,总的散射路程为:
$$L = \sum\limits_{i = 0}^n {{r_i}} $$ (24) 所以,光子整个过程所经历的时间
${t_n} = L/c$ ,$c$ 是光速。取均匀时间节点${t_i}$ ,$\Delta t$ 时间间隔。则发端发出$M$ 个光子,每个光子最多经历$N$ 次散射,到达后向接收端的脉冲响应为:$$h({t_i}) = \sum\limits_{j = 1}^M {\sum\limits_{n = 1}^N {\frac{{{P_{jn}}}}{{M\Delta t}}} } ,{t_i} - \Delta t/2 < {t_n} < {t_i} + \Delta t/2$$ (25) 式中:
${P_{jn}}$ 是第$j$ 个光子经历$n$ 次散射到达后向接收端的概率。 -
根据紫外激光后向散射探测灰霾模型,利用蒙特卡洛方法,可得到灰霾条件下紫外激光后向散射冲击响应函数
$h({t_i})$ ,即是紫外光在该灰霾系统中的传递函数。因此,可以将不同宽度的紫外激光脉冲信号与单位冲击响应函数进行卷积,可以得到该灰霾条件下,到达后向接收端的激光回波信号。发射紫外激光脉冲为:$$P(t) = {P_0}\exp \left(\frac{{ - {t^2}}}{{{\delta ^2}}}\right)$$ (26) 式中:
${P_0}$ 是峰值功率;$\delta $ 是半功率宽度。文中使用100 µg/m3、300 µg/m3和500 µg/m3的PM2.5浓度来分别表示轻度、中度和重度灰霾天气。部分仿真参数如表1所示。表 1 部分仿真参数
Table 1. Partial simulation parameter
Parameter Value Laser wavelength/nm 266 Laser divergence angle/mrad 5 Emission optical lens diameter/mm 12 Receiving optical lens diameter/mm 25 Emission photon number 106 HHaze Haze concentration/µgm−3 100, 300, 500 -
图2是紫外激光散射概率在散射次数上的分布,仿真分析了晴天及PM2.5浓度分别为100 µg/m3、300 µg/m3和500 µg/m3的散射概率分布图。图3是紫外激光探测灰霾的后向散射冲击响应图。
由图2可知,紫外激光的散射次数主要集中在前3次,相对于晴天,灰霾天气条件下的紫外光散射概率增大。在一定灰霾浓度范围内,灰霾浓度越大,散射概率也越大,但散射概率随着散射次数的增加整体呈下降趋势。PM2.5浓度由100 µg/m3变为300 µg/m3时,散射概率增加明显,尤其是对于2次散射,散射概率由9.01%增加到18.7%。PM2.5浓度由300 µg/m3变为500 µg/m3时,散射概率变化相对减小,特别是2次及2次后的散射概率,几乎没有变化。由此可以看出,在一定灰霾浓度范围内,灰霾浓度的增加有利于提高紫外激光传输时发生散射的概率。
由图3可以看出,灰霾天气条件下,紫外激光后向散射冲击响应回波有明显的脉冲展宽和峰值偏移现象。
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图4~6是灰霾天气条件下不同宽度的紫外激光脉冲后向散射回波波形曲线。从图中可以看出,发射脉冲越窄,激光回波畸变越明显。随着不断增加发射脉冲的宽度,激光回波波形畸变逐渐变小,最后近似为高斯分布。由于在一定范围内,灰霾浓度的升高有利于提高紫外激光的散射概率,如图4~6所示,随着灰霾浓度的升高,激光回波峰值功率也在逐渐增加。如图4可知,发射脉冲较窄时,激光回波出现次波峰,这是由于在低浓度灰霾条件下,单次散射所占比重较高造成的。
由图7可以看出,激光回波峰值功率随着发射脉冲宽度的增加不断变大,当发射脉冲宽度达到32 ns后,回波峰值功率趋于平缓,因此,在发射脉冲宽度相对较大时,想通过增加发射脉冲宽度来提高激光回波峰值功率的效果并不明显。在一定灰霾浓度范围内,由于灰霾粒子的散射作用,紫外激光回波峰值功率随着灰霾浓度的增大而增大。且发射脉冲宽度越大,不同浓度灰霾条件下的激光回波峰值功率相差越大。在发射脉冲宽度为2 ns时,PM2.5浓度为100 µg/m3、300 µg/m3和500 µg/m3对应的激光回波峰值功率分别为0.072 µW、0.093 µW和0.119 µW,相差不大,但当发射脉冲宽度为36 ns时,不同灰霾浓度对应的回波峰值功率分别为0.786 µW、1.033 µW和1.284 µW,差距相对较大。因此,在一定灰霾浓度范围内,可以设置较大的发射脉冲宽度,通过分析紫外激光回波峰值功率来区分不同浓度的灰霾。同时由图5可以看出,在发射脉冲宽度相同的条件下,不同浓度灰霾的紫外激光回波峰值功率近似呈线性关系,近似拟合函数表达为:
$${P_{300}} = 1.283P + 0.020\;9$$ (27) $${P_{500}} = 1.630P + 0.003\;2$$ (28) 式中:
$P$ 是PM2.5浓度为100 µg/m3对应的回波峰值功率;${P_{300}}$ 和${P_{500}}$ 是PM2.5浓度为300 µg/m3和500 µg/m3对应的回波峰值功率。因此,在一定灰霾浓度范围内,可以发射相同宽度的紫外激光脉冲,然后分析激光回波峰值功率,并结合拟合函数表达式来区分不同浓度的灰霾。由图8可以看出,发射脉冲宽度越大,激光回波半高全宽越大,当发射脉冲宽度大于6 ns时,激光回波半高全宽与发射脉冲宽度呈良好的线性关系,发射脉冲宽度每增加2 ns,回波半高全宽增加2 ns;在一定灰霾浓度范围内,激光回波半高全宽随着灰霾浓度的增大而减小,在发射脉冲宽度大于6 ns时,发射相同宽度的激光脉冲,PM2.5浓度为100 µg/m3对应的回波半高全宽比PM2.5浓度为300 µg/m3和500 µg/m3对应的回波半高全宽分别大5 ns和8 ns。因此,在一定灰霾浓度范围内,可以通过发射宽度大于6 ns的紫外激光脉冲,分析激光回波半高全宽来探测不同浓度的灰霾,激光回波半高全宽越小,灰霾浓度越大。
图 7 不同宽度的激光脉冲后向散射回波峰值功率
Figure 7. Backscattering echo peak power of laser pulses with different widths
图 8 不同宽度的激光脉冲后向散射回波半高全宽
Figure 8. Backscattering echo half-height full width of laser pulses with different widths
有图9可知,在一定灰霾浓度范围内,激光回波波峰时延随着灰霾浓度的增加而增大,激光回波波峰时延随着发射脉冲宽度的增加呈先减小后增大趋势。当发射脉冲宽度大于8 ns时,激光回波波峰时延与发射脉冲宽度呈线性增长关系。
图 9 不同宽度的激光脉冲后向散射回波波峰时延
Figure 9. Backscattering echo peak delay of laser pulses with different widths
由以上仿真结果可知,在利用紫外激光探测不同浓度灰霾时,可以根据实际情况分析不同的激光后向散射回波特征。在高浓度灰霾条件下,可以发射宽度较大的紫外激光脉冲,通过得到的后向散射回波峰值功率来探测灰霾浓度;在低浓度灰霾条件下,可以发射宽度大于6 ns的激光脉冲,通过分析激光回波的半高全宽来探测灰霾浓度。为了提高探测灰霾的精确度,可以综合考虑激光回波的峰值功率、波峰时延和半高全宽等特征的变化规律。
Backscattering echo characteristics of haze detected by ultraviolet laser
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摘要: 为了研究紫外激光探测灰霾的后向散射特性,基于Mie散射理论和蒙特卡洛方法,建立紫外激光后向散射探测灰霾模型,仿真灰霾条件下紫外激光的后向散射过程,并分析了不同宽度紫外激光脉冲后向散射回波的峰值功率、波峰时延和半高全宽等特征。研究结果表明,在一定灰霾浓度范围内,灰霾浓度越低,发射脉冲越窄时,激光回波畸变越明显,当发射脉冲宽度大于10 ns,激光回波近似呈高斯分布;在发射脉冲宽度相同的条件下,激光回波峰值功率和回波波峰时延随着灰霾浓度的增大而增大,回波半高全宽随着灰霾浓度的增大而减小,当发射脉冲宽度大于32 ns,回波峰值功率趋于平缓。文中研究成果可为紫外激光探测灰霾浓度及分析灰霾后向散射激光回波特性提供依据。Abstract: In order to study the backscattering characteristics of the haze by ultraviolet laser (UV laser), the UV laser backscattering model was established to simulate the backscattering process of UV laser under the haze conditions, based on Mie scattering theory and Monte Carlo method. The peak power, peak delay and full width at half maximum of the backscattered echoes of ultraviolet laser pulses with different widths were analyzed. The results show that, within the certain range of haze concentration, the lower haze concentration and the narrower the emission pulse width are, the more obvious the distortion of the laser echo waveform is. As the width of the emission pulse increases, when the emission pulse width is larger than 10 ns, the laser echo is approximately Gaussian distribution; Under the same emission pulse width condition, the peak power and echo peak delay of the laser echo increase with the increase of the haze concentration, and the full width at half maximum of the echo decreases with the increase of the haze concentration, When the emission pulse width is larger than 32 ns, the peak echo power tends to be flat. The results of this paper can provide a theoretical basis for UV laser detection of haze concentration and analyzing the echo characteristics of haze backscattered laser.
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Key words:
- UV laser /
- haze /
- backscattering /
- pulse width
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表 1 部分仿真参数
Table 1. Partial simulation parameter
Parameter Value Laser wavelength/nm 266 Laser divergence angle/mrad 5 Emission optical lens diameter/mm 12 Receiving optical lens diameter/mm 25 Emission photon number 106 HHaze Haze concentration/µgm−3 100, 300, 500 -
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