-
自由曲面面型结构可以采用XY多项式描述,其表达式如公式(1)所示:
$${\textit{z}} = \dfrac{{{{c}}{r^{\rm{2}}}}}{{{\rm{1 + }}\sqrt {{{1 - (1 + k)}}{{{c}}^{\rm{2}}}{r^{\rm{2}}}} }}{\rm{ + }}\sum\limits_{{{j = 1}}}^{{N}} {{{{A}}_{{j}}}{x^{{m}}}{y^{{n}}}} $$ (1) 式中:
$(x,y) $ 表示自由曲面的孔径坐标;${\textit{z}}$ 为表面在对应坐标点$(x,y) $ 的厚度;c为表面顶点曲率;k为二次曲面常数;$r$ 为径向半径,有$r = \sqrt {{x^2} + {y^2}} $ ;m为$x$ 的级数;n为$y$ 的级数;N为多项式的项数;${{{A}}_{{j}}}$ 为多项式第$j$ 项数,有$ {{j = }}\dfrac{{{{{{(m + n)}}}^{\rm{2}}}{{ + m + 3n}}}}{{\rm{2}}}{{ + 1}}$ 。自由曲面透镜组由4个面构成,其中2个为平面,位于透镜组外侧表面,另外2个表面为自由曲面,位于透镜组内侧表面,2个自由曲面的空气间隔很小,自由曲面透镜组结构模型如图1所示。
光线沿z轴方向自左向右传播。当自由曲面垂轴偏移量
$\delta = 0$ 时,透镜组对光学系统的光焦度没有贡献。因此自由曲面surf1和surf2面型结构相同,其数学表达式用公式(2)进行描述:$$\begin{array}{l} {\rm{surf1\!\!:}}{{{t}}_{\rm{1}}}{\rm{(}}x,y{{) = C + }}\dfrac{{{{c}}{r^{\rm{2}}}}}{{{\rm{1 + }}\sqrt {{{1 - (1 + k)}}{{{c}}^{\rm{2}}}{r^{\rm{2}}}} }}{\rm{ + }}\displaystyle\sum\limits_{{{j = 1}}}^{{N}} {{{{A}}_{{j}}}{x^{{m}}}{y^{{n}}}} \\ {\rm{surf2\!\!:}}{{{t}}_{\rm{2}}}{\rm{(}}x',y'{{) = C - }}\dfrac{{{{c}}{r^{\rm{2}}}}}{{{\rm{1 + }}\sqrt {{{1 - (1 + k)}}{{{c}}^{\rm{2}}}{r^{\rm{2}}}} }}{\rm{ - }}\displaystyle\sum\limits_{{{j = 1}}}^{{N}} {{{{A}}_{{j}}}x^{'{{m}}}y^{'{{n}}}} \\ \end{array} $$ (2) 式中:C为常数,表示自由曲面透镜的顶点厚度;
$(x,y)$ 是以自由曲面surf1的顶点为原点的坐标;$(x',y')$ 是以自由曲面surf2的顶点为原点的坐标。 -
当透镜组中的自由曲面surf1和surf2相对垂轴偏移量为
$\delta $ 时,透镜组的厚度随之发生了变化。假设透镜组沿$x$ 方向偏移,规定沿正$x$ 方向移动$\delta > 0$ 时,由于透镜组中两块自由曲面透镜间的空气间隔很小,可忽略光线在自由曲面surf1和surf2传播过程中空间坐标的变化,则透镜组的厚度可以描述为:$$\begin{split} T(x,y,\delta ) =& {t_1}(x + \delta ,y) + {t_2}(x - \delta ,y)= \\ & {{2C}} + \displaystyle\sum\limits_{{{j}} = 1}^{{N}} {{{{A}}_{{j}}}[{{(x + \delta )}^{{m}}}{y^{{n}}} - {{(x - \delta )}^{{m}}}{y^{{n}}}]} \\ \end{split} $$ (3) 当平行光线经过这组自由曲面透镜组后,相位
$\varphi $ 变化的表达式为:$$ \begin{split} \varphi (x,y,\delta ) =\dfrac{{{{2\pi (}}{{{n}}_{{\lambda }}}{{ - 1)}}}}{{{\lambda }}}\left\{ {{{2C + }}\sum\limits_{{{j = 1}}}^{{N}} {{{{A}}_{{j}}}[{{(x{{ + }}\delta )}^{{m}}}{y^{{n}}}{{ - }}{{(x{{ - }}\delta )}^{{m}}}{y^{{n}}}]} } \right\} \\ \end{split} $$ (4) 式中:
${\rm{\lambda }}$ 为通过透镜组的波长;${{{n}}_{\rm{\lambda }}}$ 为透镜材料的折射率。从公式(4)中提炼出相位变化与
${x^2}$ 和${y^2}$ 相关的项,并重新构建一个相位函数${\varphi _f}({x^2},{y^2},\delta )$ ,表达式如公式(5)所示:$$\begin{split} {\varphi _f}\left( {{x^2},{y^2},\delta } \right) =&\dfrac{{{{2\pi }}}}{{{\lambda }}}\left( {{{{n}}_{{\lambda }}}{{ - 1}}} \right)\displaystyle\sum\limits_{{{m = 3}}}^{{{N'}}} {{{{A}}_{{{j1}}}}{{C}}_{{m}}^{{2}}{x^2}[{\delta ^{{{m - 2}}}}{{ - }}{{\left( {{{ - }}\delta } \right)}^{{{m - 2}}}}]} + \\ &\dfrac{{{{2\pi }}}}{{{\lambda }}}\left( {{{{n}}_{{\lambda }}}{{ - 1}}} \right)\displaystyle\sum\limits_{{{m = 1}}}^{{{N}}'} {{{{A}}_{{{j2}}}}[{\delta ^{{m}}}{{ - }}{{\left( {{{ - }}\delta } \right)}^{{m}}}]{y^2}} \\ \end{split} $$ (5) 式中:m表示
$x$ 的级数;${{N'}}$ 表示$x$ 幂的最大值;${{C}}_{{m}}^{{2}}$ 为组合排列系数;${{{A}}_{{{j1}}}}$ 表示自由曲面XY多项式第${{j1}}$ 项的系数,且有$ {{j1=}}\dfrac{{{m}}^{{2}}{{+m+2}}}{{2}}{{(m\geqslant 3)}}$ ;${{{A}}_{{{j2}}}}$ 表示自由曲面XY多项式第${{j2}}$ 项的系数,且有$ {{j2=}}\dfrac{{{m}}^{{2}}{{+5m+12}}}{{2}}{{(m\geqslant 1)}}$ 。取${{N' = 3}}$ 进行详细分析,公式(5)可简化为:$$\begin{split} {\varphi _f}({x^2},{y^2},\delta ) =& \dfrac{{{{2\pi }}}}{{{\lambda }}}\left( {{{{n}}_{{\lambda }}}{{ - 1}}} \right)\left( {6{{{A}}_{{7}}}\delta {x^2}{{ + 2}}{{{A}}_{{9}}}\delta {y^2}{{ + }}2{{{A}}_{{{18}}}}{\delta ^3}{y^2}} \right) \\ \end{split} $$ (6) 式中:
${{{A}}_{{7}}}$ 、${{{A}}_{{9}}}$ 、${{{A}}_{{{18}}}}$ 表示自由曲面XY多项式第7、9、18项的系数。分析公式(6)可得,式中第一项和第二项与垂轴偏移量$\delta $ 成线性关系,当${{{A}}_{{7}}} = {{{A}}_{{9}}}{{/3}}$ ,${{{A}}_{{{18}}}} = $ $ {{0}}$ 时,相位${\varphi _f}({x^2},{y^2},\delta ) $ 为:$${\varphi _f}({x^2},{y^2},\delta ) = \frac{{{{2\pi }}}}{{{\lambda }}}\left( {{{{n}}_{{\lambda }}}{{ - 1}}} \right){{2}}{{{A}}_{{9}}}\delta \left( {{x^2} + {y^2}} \right)$$ (7) 已知球面薄透镜相位变换为:
$${\varphi _{sp}}({x_1},{y_1}) = \frac{{{\rm{2\pi }}}}{{\rm{\lambda }}}\frac{{{x_1}^2 + {y_1}^2}}{{2{f_{sp}}}}$$ (8) 式中:
$({x_1},{y_1})$ 为常规球面透镜的孔径坐标;$\lambda $ 为波长;${f_{sp}}$ 为球面透镜的焦距。结合公式(7)和公式(8)得到自由曲面透镜组焦距${f_{{\rm{freeform}}}}$ 的表达式:$${f_{{\rm{freeform}}}}{\rm{ = }}\frac{1}{{4\delta {{{A}}_{\rm{9}}}\left( {{{{n}}_{{\lambda }}} - {\rm{1}}} \right)}}$$ (9) 根据公式(9)可知,自由曲面透镜组焦距
${f_{{\rm{freeform}}}}$ 分别与垂轴偏移量$\delta $ 、多项式第9项系数${{A}}_{\rm{9}}$ 、透镜材料折射率${{n}}_{\rm{\lambda }}$ 成反比。其中折射率${{n}}_{\rm{\lambda }}$ 与波长相关,当透镜材料的阿贝常数越小,自由曲面透镜组的色散越明显,不利于光学系统二级色差的矫正。多项式系数${{A}}_{\rm{9}}$ 与自由曲面的面型平缓程度相关,${{A}}_{\rm{9}}$ 越大,自由曲面的面型越陡峭,不利于自由曲面的超精密加工和大通光口径的设计。当${{A}}_{\rm{9}}>$ 0时,讨论垂轴偏移量$\delta $ 以下3种情况,并结合光学设计软件得到仿真结果,如图2所示。(1)当相对偏移量
$\delta {\rm{ = }}0$ 时,透镜组表现为平板效果,如图2(a)所示;(2)当相对偏移量
$\delta > 0$ 时,透镜组表现为正透镜效果,如图2(b)所示。结合公式(9)分析得到,随着垂轴偏移量$\delta $ 的增加,入射光波调制后的会聚效果越明显;(3)当相对偏移量
$\delta < 0$ 时,透镜组表现为负透镜效果,如图2(c)所示。结合公式(9)分析得到,随着垂轴偏移量$\delta $ 的减小(绝对值增加),入射光波调制后的发散效果越明显。 -
在内调焦光学系统中,以自由曲面透镜组作为调焦镜,结合不同物距目标成像和像距扰动的成像情况建立数学模型,如公式(10)所示:
$$\frac{{\rm{1}}}{{{{l' + }}\Delta l'}}{\rm{ - }}\frac{{\rm{1}}}{l} = \frac{{{f_{{\rm{freeform}}}}{\rm{ + }}{{{f}}_{\rm{0}}}{{' - d}}}}{{{{{f}}_{\rm{0}}}{{'}}{f_{{\rm{freeform}}}}}}$$ (10) 式中:
${f_0}'$ 为常数,表示光学系统焦距(不含自由曲面透镜组);${f_{{\rm{freeform}}}}$ 为变量,表示自由曲面透镜组焦距;$d$ 为常数,表示光学系统(不含自由曲面透镜组)主平面和自由曲面透镜组主平面的距离;$l'$ 为常数,表示对应无穷远物距的像距;$\Delta l'$ 为变量,表示空间环境因素造成的离焦量;$l$ 为变量,表示成像目标的物距。公式(10)中变量${f_{{\rm{freeform}}}}$ 作为调节组件,实现对变量$\Delta l'$ 和$l$ 的补偿,使光学系统处于准确对焦位置。在自由曲面透镜的材料和面型确定的条件下,${f_{{\rm{freeform}}}}$ 中$\delta $ 为唯一补偿变量。以焦距为100 mm、相对孔径为1/5.6、视场角
$2\omega $ 为12°、光谱范围为450~700 nm为约束条件,通过delano图解法求解得到一个光学系统初始结构。结合公式(10)可知,在初始结构前加入自由曲面透镜组,并且使得初始结构和自由曲面透镜的主平面距离${{d}}$ 较小,充分利用自由曲面的变焦特性补偿像距和物距的变化。由于光学系统装配需要一定的间隙,因此选取${{d = 2}}\;{\rm{mm}}$ 。自由曲面透镜的光学材料选择折射率较大且阿贝常数较大的重磷冕玻璃,如H-ZPK7。自由曲面透镜的面型考虑口径问题,选取${{{A}}_{\rm{9}}} = $ $ {\rm{0}}{\rm{.000\;9}}$ 。物距调焦范围$l$ 为无穷远到1.5 m,环境因素引起的离焦量$\Delta l'$ 是不确定值,通过环境温度(Temperature,$T$ )和大气压强(Atmosphere pressure,${P_{{\rm{atm}}}}$ )对系统的影响定性分析,选取温度范围为−100~100 ℃,大气压强为0~1 atm(1 atm=1.013×105 Pa)。经过光学软件优化后得到最终的内调焦光学系统如图3所示,具体参数指标如表1所示。表 1 内调焦光学系统参数指标
Table 1. Specific parameters of internal focusing optical system
Parameter Value Focal length/mm 100 F number 5.6 Field of view/(°) 12 Wavelength/nm 450-700 Total length/mm 115 Size of pixel/μm2 5.5×5.5 Object length/m 1.5-Infinity Temperature/℃ −100~100 Atmosphere/atm 0-1 如图3所示,光学系统中有1组自由曲面透镜组和6片球面透镜构成,其中自由曲面透镜组由3片带有自由曲面的透镜组成。光学系统的面型结构和材料特性如表2所示。
表 2 自由曲面透镜的参数特性
Table 2. Specific parameters of freeform lens
Title Type A9 Radius Thickness Materials Lens 1 Sphere - Infinity 1.5 H-ZPK7 XY polynomial 0.0009 Infinity 0.1 Lens 2 XY polynomial 0.0009 Infinity 3 H-ZPK7 XY polynomial −0.0009 Infinity 0.1 Lens 3 XY polynomial −0.0009 Infinity 1.5 H-ZPK7 Sphere - Infinity 2 Lens 4 Sphere - 32.74 5.30 H-ZK11 Sphere - 97.91 20.26 Lens 5 Sphere - 42.76 5.64 H-ZK11 Sphere - −36.33 0.64 Lens 6 Sphere - −33.70 4.50 H-ZF3 Sphere - 103.82 1.88 Lens 7 Sphere - −32.88 3.02 H-ZF3 Sphere - 24.68 1.59 Lens 8 Sphere - 25.87 8.91 H-ZK9B Sphere - 34.59 3.99 Lens 9 Sphere - 74.32 4.71 H-ZF12 Sphere - −44.04 46.37
Design on internal focusing optical system with zoom lens of freeform
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摘要: 具有调焦功能的光学系统在空间探测领域中有着重要的应用需求。设计了一种基于自由曲面垂轴偏移的内调焦光学系统,该系统中采用特殊自由曲面面型结构,构建自由曲面透镜组,利用垂轴偏移的变焦特性,改善光学系统的成像位置,提升在空间环境多样性和宽物距成像的适应性能力。具体分析了自由曲面透镜组的调焦原理,并成功将自由曲面透镜组应用到焦距为100 mm的光学系统中,分析像距扰动和物距变化两种情况下的成像质量和偏移量。结果表明,光学系统的调制传递函数在奈奎斯特频率处大于0.3,满足成像要求,该系统具有成像性能稳定和微米量级补偿量等特点。Abstract: Optical systems equipped with focusing ability are crucial for space exploration. The internal focusing optical system was designed which was based on the vertical deflection of the freeform surface. Specifically, the system used a special structure of the freeform surface to establish a lens group. It used the zoom ability of the vertical deflection to improve the imaging location thus adapting to different conditions such as wide range imaging or diverse space environments. The zoom theory of the freeform lens group was analyzed, and zoom lens of freeform was successfully applied to the optical system whose focal length was 100 mm. Then the imaging quality and displacements were analyzed when the object and image distance were changed accordingly. The results show that the Modulation Transfer Function (MTF) of the optical system is better than 0.3 at the Nyquist frequency which means satisfying quality of image. The system is stable in imaging and can provide compensation on the micron scale.
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Key words:
- internal focusing system /
- zoom lens /
- freefrom /
- vertical deflection
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表 1 内调焦光学系统参数指标
Table 1. Specific parameters of internal focusing optical system
Parameter Value Focal length/mm 100 F number 5.6 Field of view/(°) 12 Wavelength/nm 450-700 Total length/mm 115 Size of pixel/μm2 5.5×5.5 Object length/m 1.5-Infinity Temperature/℃ −100~100 Atmosphere/atm 0-1 表 2 自由曲面透镜的参数特性
Table 2. Specific parameters of freeform lens
Title Type A9 Radius Thickness Materials Lens 1 Sphere - Infinity 1.5 H-ZPK7 XY polynomial 0.0009 Infinity 0.1 Lens 2 XY polynomial 0.0009 Infinity 3 H-ZPK7 XY polynomial −0.0009 Infinity 0.1 Lens 3 XY polynomial −0.0009 Infinity 1.5 H-ZPK7 Sphere - Infinity 2 Lens 4 Sphere - 32.74 5.30 H-ZK11 Sphere - 97.91 20.26 Lens 5 Sphere - 42.76 5.64 H-ZK11 Sphere - −36.33 0.64 Lens 6 Sphere - −33.70 4.50 H-ZF3 Sphere - 103.82 1.88 Lens 7 Sphere - −32.88 3.02 H-ZF3 Sphere - 24.68 1.59 Lens 8 Sphere - 25.87 8.91 H-ZK9B Sphere - 34.59 3.99 Lens 9 Sphere - 74.32 4.71 H-ZF12 Sphere - −44.04 46.37 -
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