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随着时域天文的发展，天文学界对大口径巡天望远镜这一科研利器的需求越来越大。随着系统口径的增加，校正镜组中的透射光学元件尺寸也随之增大，同时其准直装调难度也日益增加。校正镜组装调误差包括透镜的偏心、倾斜误差等，传统小型相机则采用张正友法[1]对系统进行检测表校。为了提高大口径透射系统检测精度，利用波前检测进行透射元件检测的方法，在Visible and Infrared Survey Telescope for Astronomy （VISTA）以及 James Webb Space Telescope （JWST）等[2]望远镜中已经开始应用。但该方法需要特殊的检测设备，同时只能针对特定的重力工况。
波前检测技术按照处理数据的来源主要分为光瞳面波前传感以及焦平面波前传感，其中光瞳面波前传感包括：干涉成像、哈特曼探测、角锥、泽尼克相衬，焦平面波前传感包括：曲率传感器与相位恢复技术。
干涉成像法主要包括泰曼格林干涉仪、斐索干涉仪和剪切干涉仪，其工作原理是通过干涉系统将波前信息转换为干涉条纹，利用干涉图解算波面相位信息，检测精度较高，对检测装置和环境要求同样较高。哈特曼波前传感器由微透镜阵列和电荷耦合元件（Charge Coupled Device，CCD）组成，畸变入射光波通过位于光瞳面的微透镜阵列后分割取样，CCD放置于微透镜焦面处接收光斑，测量光斑的质心偏移求得波前斜率，通过重构最终得到待测波前相位分布。角锥波前探测原理是将角锥棱镜放置于焦点处分光，出射光束在探测元件上形成四个由波前畸变导致的不同亮度的光瞳像。根据亮度差异求得波前斜率，推算波前畸变的相位分布[3]。相位恢复波前检测技术采用迭代或直接的相位恢复算法对直接测量的光强信息反演系统波前相位。该检测方法可适用不同的波长，但缺点是检测的动态范围小，对大像差系统不容易收敛[4]，因此只能应用于像差较小的系统。
以上方法均需要额外的光学设备进行探测传感，并不能很好地满足大口径大视场光学系统集成检测需求。差分光学传递函数（dOTF）方法是2012年由亚利桑那大学斯图尔德天文台的Johanan. L. Codoan提出的一种基于图像检测处理的波前检测技术[5-6]，该方法对图像的处理过程简单且非迭代，只通过遮挡光学系统的部分入射光瞳孔径，即可直接通过放置于焦平面的相机成像检测光瞳面的相位及振幅变化[7]，无需波前重建算法，即使光瞳掩模未知并且像差较大的情况下也可以十分容易地获取波前信息[8-9]。该检测过程简单且容易实现，通过表校和迭代，检测精度接近干涉测量。
在此，文中引入dOTF以实现在不同工况下的大口径透射波前检测。
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dOTF是通过简单直接的技术获取光瞳面成像的波前相位和复振幅，两个点扩散函数（Point Spread Function，PSF）图像的傅里叶变换之差近似于光学传递函数（Optical Transfer Function，OTF）对光瞳掩模（pupil mask）的导数，而 OTF导数的几何意义为翻转对称且存在部分重叠的共轭光瞳图像，针对不重叠部分的光瞳可通过相位和振幅进行检测，针对重叠部分的光瞳，dOTF引入部分遮挡，减小光瞳重叠区域内二次项影响的方法，计算得到光瞳面的差分光学传递函数，估算整个光瞳面的相位和振幅分布，得到光学系统的波前分布[10-11]。本质是利用两幅PSF图像的傅里叶变换之差（分别取全部光瞳面和部分遮挡的光瞳面）计算光瞳面（pupil field）的相位分布。因为PSF是光瞳面的二次泛函，傅里叶变换后所得的OTF本质上为非线性函数，dOTF则是通过微分方法将OTF的二次泛函变为线性的过程[12]。
设光瞳掩模后复振幅为
$u\left( x \right)$ ：$$u\left( x \right) = \Pi \left( x \right){u_0}\left( x \right)$$ (1) 式中：
$\Pi \left( x \right)$ 为光瞳掩模函数；${u_0}\left( x \right)$ 为入射光瞳复振幅。由傅里叶光学可知，
${\cal{H}}\left( \xi \right)$ （OTF）为${h_f}\left( x \right)$ （PSF）的傅里叶变换：$${\cal{H}}\left( \xi \right) = {\cal{F}}\left\{ {{h_f}\left( x \right)} \right\}$$ (2) OTF在光瞳场内可表示为：
$${\cal{H}}\left( \xi \right) = \frac{1}{{{{\left( {2\pi } \right)}^2}}}\int {{{\rm{e}}^{ - j\kappa \xi }}{{\left| {u\left( x \right)} \right|}^2}} {\rm{d}}x$$ (3) 式中：
$\xi $ 为空间频率。dOTF中被遮挡部分的光瞳函数变化可由公式（4）表示：$$\Pi '\left( x \right) = \Pi \left( x \right) + \Delta \Pi \left( x \right)$$ (4) $\Delta {\cal{H}}\left( \xi \right)$ （dOTF）可表示为：$$ \begin{split} \Delta {\cal{H}}\left( \xi \right) = &{{\cal{H}}_{\Pi {\rm{ + }}\Delta \Pi }}\left( \xi \right){\rm{ - }}{{\cal{H}}_\Pi }\left( \xi \right) =\\ & u\Delta {u^{\rm{*}}}{\rm{ + }}\Delta u{u^{\rm{*}}}{\rm{ + }}\Delta u\Delta {u^{\rm{*}}} \\ \end{split} $$ (5) 当不考虑重叠区域点时，最终求得光瞳面的相位
$\vartheta \left( \xi \right)$ 和振幅$A\left( \xi \right)$ 可由公式（6）~（7）表示：$$\vartheta \left( \xi \right) = \arg \left\{ {\Delta {\cal{H}}} \right\}$$ (6) $$A\left( \xi \right) = \left| {\Delta {\cal{H}}} \right|$$ (7) -
对准检测过程中如相位解缠、CCD探测噪声和大气扰动等因素都直接影响检测算法的精度，为了保证该算法在实际应用中的输出尽可能贴近理论值的波前信息，应考虑各因素影响下的波前分布是否满足理想值偏离范围[13-15]，根据大口径透镜装调的固有特点，解算过程选取Zernike像差取3~15阶进行表示。
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相位的周期性导致计算过程只能得到2π周期内的相位差，超过2π的相位数据会重新循环，因此需要对最初的波前信息进行相位解缠，将其恢复至真实的相位差。为了进一步验证相位解缠和解算精度，分别输入单项Zernike像差和多种Zernike像差组合的输入波前（幅值均为一个波长），对解算精度进行检测，其中单项Zernike像差结果如图1所示。图1（a）为像散的理论计算波前分布示意图，图1（b）为遮拦部分入瞳孔径后的PSF图像，将遮挡和未遮挡部分入瞳孔径的OTF相减，计算得到最初的相位分布图像如图1（b）所示。图1（c）为相位解缠初始结果，图1（d）为解算后3~15阶波前，与图1（a）对比可以看出相位解缠后分布图与理论分布值相差不大。
图 1 像散dOTF计算过程
Figure 1. Calculating process of astigmatism dOTF
多项Zernike的检测误差如图2所示，幅值为1.5、1、0.5个波长时，分析可得多项Zernike组合后波前整体误差小于60%。因此单项Zernike像差相位解算效果较好，多项Zernike像差会产生一定的频率串扰，需要进一步利用算法进行迭代。
图 2 不同幅值波前解缠初始误差
Figure 2. Initial error of wavefront unwrapping with different amplitudes
最终通过两次迭代将误差降至10%以下，如图3所示。图4为迭代计算后的多项Zernike像差组合的波前解算结果。
图 3 不同迭代次数所对应的解缠误差
Figure 3. Unwrapping error of different iteration times
图 4 多项Zernike 组合的dOTF 计算过程
Figure 4. Calculating process of multiple Zernike dOTF
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CCD作为图像传感器被广泛应用于成像系统中，具有动态范围大、量子效率高、线性度好、光谱响应范围宽等优点，其工作原理导致CCD在成像过程中必然会产生噪声和干扰，主要包括：光子散粒噪声、暗电流噪声、读出噪声、转移噪声、复位噪声等[16]。暗电流建模过程较复杂，因此直接采用暗场测量的方法，CCD探测噪声的影响均值为7.4灰度值，标准差为18.9灰度值。
在点扩算函数中，加入噪声解算结果如图5所示，误差小于1%，因此CCD探测噪声在检测过程中可以忽略不计。
图 5 CCD噪声相位解缠示意图
Figure 5. Phase Unwrapping of CCD noise
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天文观测过程中目标发出的光波通过大气传输到望远镜系统中成像[17]，该过程中大气湍流造成的折射率虽然变化较小，但远距离观测的累计效果导致大气扰动所造成的影响不容忽视[2，18]。视宁度主要分为大气视宁度、圆顶视宁度和镜面视宁度，在自适应光学领域，研究大多集中于大气视宁度上[19]。
分析过程中，在PSF中添加三种不同的大气相干长度R0=0.02、0.01、0.1 m，其中R0=0.02 m拟合结果如图6所示，计算可得大气扰动引入的相位变化量分别为1.95%、1.87%、2.27%，小于2.5%。
图 6 R0=0.02 m大气扰动相位解缠示意图
Figure 6. Phase unwrapping of R0=0.02 m atmospheric perturbation
综合考虑上述分析的相位解缠精度、CCD探测噪声和大气扰动所带来的影响，总结出单次检测整体误差不大于10.5%，经过两次调整迭代计算即可满足要求。
图7为dOTF的实验装置图，由实验结果可以看出，见图8和图9，该双胶合透镜轴外视场波前检测中，主要的成分为彗差，这与理论分析的结果像一致，也很好地符合几何光学预测的结果。同时，在振幅分布图中，可以明显的看到二次项对波前解算结果的耦合。
图 7 dOTF实验装置图
Figure 7. Figures of dOTF experiment installing
图 8 幅值与相位分布测量结果
Figure 8. Results of amplitude and phase distribution
图 9 解缠后的相位及Zernike系数分布
Figure 9. Phase and Zernike coefficient distribution of unwrapping
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文中采用dOTF作为获得大口径透镜波前的方法，该方法检测设备简单，仅通过对口径的遮挡实现波前检测，无需其他部件和波前重建环节，可在光学系统工作的状态下进行检测，不受非共光路像差影响，即可直接得到波前，在大口径透射式系统波前检测方面具有很大的优势。
文中首先介绍dOTF的基础理论和与之对应的检测流程，重点讨论了大口径透射波前的对准检测方法，此外，根据检测算法精度的影响因素分析了计算相位解算精度、CCD探测噪声和大气扰动误差的误差范围，结果显示检测误差分别小于10%、1%和2.5%，与理论分析数据较为贴合，误差范围满足要求，经过叠加可得整体的测量精度约为10.3%，针对约550 nm的误差（轴外视场），其误差为56 nm，满足一般大口径大视场检测系统的设计指标[20-25]，为未来研究工作的开展起到很好的指导作用。
Large aperture transmission optical element detection method based on dOTF
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摘要: 为了保证在重力变化下大口径巡天望远镜透镜组的成像质量，需要研究一种可以适用于大口径透镜组的波前检测方法，用于实现系统装调检测。首先，基于差分光学传递函数（differential optical transfer function，dOTF）建立了一套波前对准检测技术，在此基础上，分析了运算过程中相位解缠，CCD探测噪声以及大气扰动对检测算法造成的误差影响，结果表明检测误差分别小于10%、1%和2.5%，经过叠加可得整体的测量精度约为10.3%，满足一般大口径大视场检测系统设计指标。最后针对80 mm的透射式系统进行验证，由实验结果得到波前检测主要成分为彗差，与理论分析结果一致，符合几何光学预测结果。Abstract: To ensure the corrector lens meet the imaging quality of design requirements under the change of gravity, the large aperture corrector lens needs a wavefront detection method for implementing system adjustment detection. Firstly, on the basis of the differential optical transfer function (dOTF), the wavefront alignment detection technology was proposed consequently. Next, the error effects caused by the phase resolution, CCD detection noise and atmospheric disturbance on the detection algorithm were analyzed. The results show that the detection error is less than 10%, 1% and 2.5%. The overall measurement precision obtained by superposition is about 10.3%, which meets the design indexes of general large aperture survey design requirement. Finally, the accuracy of the detection method in the 80 mm transmission system was verified by the experiment. From the experimental results, the main error of wavefront detection is coma, which is consistent with the theoretical analysis results and consistent with the geometric optical prediction results.
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图 2 不同幅值波前解缠初始误差
Figure 2. Initial error of wavefront unwrapping with different amplitudes
图 6 R0=0.02 m大气扰动相位解缠示意图
Figure 6. Phase unwrapping of R0=0.02 m atmospheric perturbation
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