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自由曲面的直接设计法是指根据成像系统设计指标中的物像关系,利用等光程等理想成像原理和折反射定律等几何光学传播定律,建立起光线与表面之间的方程组并求解得到曲面离散点数据信息,对其进行拟合得到自由曲面。常见的方法有偏微分方程法、多曲面同步设计法及逐点构建-迭代法。
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1949年,Wasserman和E.Wolf 提出Wasserman-Wolf微分方程,用于同轴光学系统中相邻非球面面型参数的求解[16]。1957年,E.Vaskas在此基础上进一步推导,将Wasserman-Wolf微分方程的适用范围扩大至两个非相邻非球面的求解[17]。2002年,Knapp. D.J.将微分方程求解的思想应用到非旋转对称的光学系统设计中,推导出两个新的微分方程并求解,完成非旋转对称光学系统中校正板的设计[18]。2007年,Andrew Hicks 通过建立偏微分方程组构建自由曲面反射镜,实现大视场成像系统中畸变的校正[19]。2010年,北京理工大学王涌天团队利用偏微分方程法完成离轴自由曲面棱镜式头戴显示系统的设计[20]。
偏微分方程法的自由曲面面型设计思想是依据成像系统的物像关系,在已知入射光线和出射光线方向矢量的前提下,基于折反射定律建立微分方程组求解自由曲面表面矢高点坐标及其对应的法向量坐标,最后通过自由曲面表征函数对离散点进行拟合,得到自由曲面初始面型。
以单个自由曲面反射镜的构造为例,以自由曲面S的顶点位置为坐标原点O,建立空间直角坐标系,如图2所示。
XOY平面与自由曲面相切,待求曲面S可用参数方程表示为:
$$ \left\{ \begin{gathered} x = x(t) \\ y = y(t) \\ \textit{z} = \textit{z}(t) \\ \end{gathered} \right. $$ (1) 式中:x,y,z为曲面S上的点坐标;t为参数。入射到自由曲面的光线向量以及其对应的出射光线向量可由物像关系得到。记入射光线单位矢量为Ri (cosθix, cosθiy, cosθiz),与其对应的出射光线单位矢量为Ro(cosθox, cosθoy, cosθoz),入射光线所在直线与XOY平面的交点为H (hx, hy),入射光线与自由曲面的交点处法向量为N,切向量为τ。根据向量之间的几何关系有:
$$ {\boldsymbol{N}} = \frac{{{{\boldsymbol{R}}_{\boldsymbol{o}}} - {{\boldsymbol{R}}_{\boldsymbol{i}}}}}{2} $$ (2) $$ {\boldsymbol{N}} \cdot {\boldsymbol{\tau }} = 0 $$ (3) 将公式(2)代入公式(3)可得:
$$ \frac{{{\rm d}\textit{z}}}{{{\rm d}t}} = - \frac{{\cos {\theta _{ox}} - \cos {\theta _{ix}}}}{{\cos {\theta _{o\textit{z}}} - \cos {\theta _{i\textit{z}}}}} \times \frac{{{\rm d}x}}{{{\rm d}t}} - \frac{{\cos {\theta _{oy}} - \cos {\theta _{iy}}}}{{\cos {\theta _{o\textit{z}}} - \cos {\theta _{i\textit{z}}}}} \times \frac{{{\rm d}y}}{{{\rm d}t}} $$ (4) 式中:cosθix, cosθiy , cosθiz,cosθox, cosθoy , cosθoz分别为入射光线和出射光线的方向余弦。光线与自由曲面的交点x和y坐标如公式(5)所示:
$$ \begin{gathered} x = {h_x} + \textit{z} \cdot \frac{{\cos {\theta _{ix}}}}{{\cos {\theta _{i \textit{z}}}}} \\ y = {h_y} + \textit{z} \cdot \frac{{\cos {\theta _{iy}}}}{{\cos {\theta _{i \textit{z}}}}} \\ \end{gathered} $$ (5) 式中:hx,hy为H的横纵坐标。联立公式(4)、(5),可得:
$$ \begin{split} &\frac{{{\rm d}\textit{z}}}{{{\rm d}t}} = \left( - \frac{{\cos {\theta _{ox}} - \cos {\theta _{ix}}}}{{\cos {\theta _{oz}} - \cos {\theta _{i \textit{z}}}}} \cdot \left[\frac{{{\rm d}{h_x}}}{{{\rm d}t}} + \textit{z} \cdot \frac{{{\rm d}\left(\tan {\theta _{ix}}/\tan {\theta _{iz}}\right)}}{{{\rm d}t}}\right] -\right.\\ &\left.\frac{{\cos {\theta _{oy}} - \cos {\theta _{iy}}}}{{\cos {\theta _{o \textit{z}}} - \cos {\theta _{i \textit{z}}}}} \cdot \left[\frac{{{\rm d}{h_y}}}{{{\rm d}t}} + \textit{z} \cdot \frac{{{\rm d}(\tan {\theta _{iy}}/\tan {\theta _{i \textit{z}}})}}{{{\rm d}t}}\right]\right) \Big{/}\\ &\left(1 + \frac{{\cos {\theta _{ox}} - \cos {\theta _{ix}}}}{{\cos {\theta _{o \textit{z}}} - \cos {\theta _{i \textit{z}}}}} \cdot \frac{{\tan {\theta _{ix}}}}{{\tan {\theta _{i \textit{z}}}}} + \frac{{\cos {\theta _{oy}} - \cos {\theta _{iy}}}}{{\cos {\theta _{o \textit{z}}} - \cos {\theta _{i \textit{z}}}}} \cdot \frac{{\tan {\theta _{iy}}}}{{\tan {\theta _{i \textit{z}}}}}\right) \end{split} $$ (6) 根据物像关系建立如公式(6)所示的一系列微分方程组并求解,即可得到曲面上多个离散坐标数据点及其对应的法向量数据,对这些离散数据点集合拟合生成连续光滑的自由曲面。
偏微分方程法是构建自由曲面的一种通用方法,由于在微分方程的构建过程中只考虑对各个视场主光线方向的控制,忽略了主光线周围一定孔径内光束的像差校正,因此偏微分方程法构造的初始结构在后续设计过程中对孔径像差的校正存在局限性。
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多曲面同步设计法(Simulataneous multiple surface, SMS)是美国LPI公司于1990年提出的一种基于等光程原理的面型构造方法[21]。该方法最初用于非成像光学系统的设计,而后经过进一步的改进和发展应用于成像光学系统的设计中。2009年,西班牙马德里理工大学的Juan C. Miñano等人应用SMS法的曲面构造思想实现了超短距投影系统的设计[22],2012年Miñano等人基于该设计原理,推导三维空间中自由曲面的设计方法[23]。2015年,布鲁塞尔自由大学的Yunfeng Nie等人将该方法与拓展多视场的自由曲面逐点设计方法结合,完成了同轴和离轴两种结构形式的自由曲面成像系统初始结构的建立,并实现全视场内各像差的平衡[24-25]。
SMS法从理想成像的等光程原理出发,利用理想成像物像关系、光路可逆原理以及折反射定律建立方程组,可同时得到两个及以上的曲面面型。如图3所示,在对称式光学系统中,物面上边缘点O1成像至像面边缘点I1,与O1对称的物点O2成像至像面边缘点I2。由O1发出的光线R1经待求曲面S1上点P0后与待求曲面S2相交于点P1,并与像面相交于点I1。由像点I2发出光线R2,经S2上点P1后与S1相交于点P2,根据光路可逆原理,光线R2与物面相交于点O2。同理,由物点O1发出光线R3,经S1上点P2后与S2相交于点P3,并成像于I1,再由像点I2发出光线R4,经S2上点P3后,与S1相交于点P4,并成像于物点O2。
首先,在已知P0点坐标及S1在P0处的法线向量N0的前提下,求解P1点坐标及S2在P1处的法线向量N1。P1点坐标可表示为:
$$ {P_1} = {P_0} + \left[{P_0}{P_1}\right]{{\boldsymbol{r}}_{\boldsymbol{1}}} $$ (7) 式中:[P0P1]为P0到P1的光程;r1为光线R1在S1和S2之间传播的光线方向矢量。P0到像点I1的光程可表示为:
$$ \left[{P_0}{I_1}\right] = \left[{O_1}{I_1}\right] - \left[{O_1}{P_0}\right] $$ (8) 根据折射定律设立方程,并联立公式(7)、(8)建立方程组并求解,即可得到P1点坐标及S2在P1处的法线向量N1。
同理,根据I1发出的光线R2,在已知P1点坐标及S2在P1处的法线向量N1的前提下,可建立方程组求解P2点坐标及S1在P2处的法线向量N2。重复上述过程,可以求解得到一系列离散点坐标Pi及其对应的法线向量Ni。对离散点P2n拟合可得到自由曲面S1的初始面型,对离散点P2n+1进行拟合可得到自由曲面S2的初始面型。
SMS法可同时计算求解多个自由曲面面型,但其求解过程复杂。求解的曲面个数与选取的物像关系数量一致,计算两对物像关系可求解两个曲面面型,计算四对物像关系可求解四个曲面面型。由于计算采样的物像关系数量有限,因此自由曲面的拟合精度受到离散数据点数据量的影响。
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2013年,清华大学朱钧课题组提出一种基于逐点构建与迭代的二维自由曲面设计方法(CI-2D)[26]。该方法以平面或简单曲面作为初始面型,通过特征光线的追迹得到曲面上若干个特征数据点,再经多次迭代进一步优化自由曲面面型,得到成像光学系统的初始结构。
图4所示为CI-2D法设计初始结构的原理示意图[27]。首先根据物像关系及设计需求,用平面或简单曲面作为初始面型初步确定各元件的空间布局和相对位置关系;接着选取特征光线,在极坐标下对多个视场和不同光瞳坐标的光线进行采样并追迹;然后依据待求曲面上入射光线和出射光线之间的关系,通过折反射定律计算求解曲面上离散点坐标及其对应的法线向量;最后对一系列离散点及其法向量进行拟合,完成自由曲面的逐点构建过程。再将构建得到的曲面作为初始曲面,重复上述构建过程,通过多次迭代,使采样光线与待求面型的交点和期望目标点之间的偏差进一步缩小,进而实现从简单平面出发的自由曲面成像光学系统初始结构构建。
2014年,朱钧课题组将逐点构建-迭代这一设计思想进一步拓展至三维空间自由曲面的构建,并改进了逐点求解离散点的计算方法[28-29]。同年,该课题组提出兼顾表面离散点数据坐标和法向量的高精度自由曲面拟合方法[30]。在此基础上,该课题组完成了多个离轴反射式自由曲面成像光学系统的设计[28-29, 31]。2017年,该课题组将逐点构建-迭代的设计思想与神经网络机器学习相结合,只需依据设计需求给定参数以及平面元件的空间布局位置,即可实现从平面结构到自由曲面成像光学系统的初始结构自动设计[32]。
综上,逐点构建-迭代的初始结构构造方法以平面或简单曲面作为设计起点,是一种巧妙的初始结构设计方法,实现了自由曲面光学系统初始结构“从无到有”的建立。这种直接设计方法的构造过程也与光学系统几何特性及像差校正关联性不大。
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一直以来,圆锥曲面凭借其特有的良好成像特性及简洁的面型表征方式,被广泛应用于成像光学系统的设计中。椭球面可对位于其焦点处的点物完善成像(实像)于另一焦点位置;抛物面可对无穷远物成完善像于焦点位置;而双曲面可对位于其焦点处的点物成完善虚像于另一焦点位置[36]。
理想的自由曲面成像系统必定对任意视场的点物成完善点像,若将系统的面视场分解为一系列视场点,则对任一视场点,可通过自由曲面上的某一区域实现完善成像,基于这样的分段拼接融合法充分利用圆锥曲面完善成像的光学特性,并在此基础上构造自由曲面面型,完成自由曲面成像光学系统初始结构的构建。
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椭球面的两个焦点为一对完善成像共轭点,如图7 (a)所示,当物位于焦点F1处时,F1发出的所有光线经椭球内壁反射后都会聚焦于像点F2,利用椭球面的这种光学特性,构造出的双椭球结构如图7 (b)所示,物点位于椭球面1的焦点F1位置,物点发出的光线经过椭球1反射后会聚于焦点F2处,F2同时也是椭球2的一个焦点,最终所有光线在椭球面2的焦点同时也是理想像点F3处会聚。2013年,中国科学院长春光学精密机械与物理研究所杨建明等人提出利用双椭球面反射镜实现广角、轻量化的无失真头戴显示系统,如图7 (c)所示,但由于实际光线存在一定的孔径,因此在系统中加入了中继镜组用于补偿失真、校正像差。最终该系统实现了单通道视场120°×120°,双目视场160°×120°,重叠视场80°的头戴显示系统的设计[37]。
另外,2010年,美国中佛罗里达大学的F.Fournier基于光源和目标面等照度网格的映射关系,利用椭球面对点物成完善点像的光学特性,结合偏微分方程组,求解椭球面结构参数,而后通过对多个椭球面的拼接融合构造自由曲面,最终完成了单反射器的设计[38],如图8所示,该设计思想尚未在成像光学系统设计中得到应用。
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2019年,南京理工大学高志山团队利用离轴抛物面反射镜对无限远物体完善成像且不存在孔径遮拦的优势,结合分段拼接融合的面型构造思想[39],将全视场分割为多个单视场单元,构建多个小孔径离轴抛物面子镜分别对单视场完善成像,再由各离轴抛物面子镜单元扩展融合形成自由曲面面型,完成光学系统初始结构的构建,并在此基础上优化设计得到带宽400 nm,光谱分辨率0.1 nm的Czerny-Turner型成像光谱仪,如图9 (a)所示[40]。2020年,该团队在此设计思想基础上,进一步提出多面对融合型自由曲面两反成像系统的设计方法,利用抛物面子镜与平面子镜相配合同时实现对光束远心度的控制和畸变的校正,达到无畸变远心成像的效果,完成f-θ离轴两反远心扫描系统的设计,如图9 (b)所示[41]。
应用抛物面扩展融合的设计思想构造初始结构分为三个步骤[42],如图10 (a)所示。(1) 根据成像系统设计指标对视场或孔径进行划分,将系统解构为若干个小视场/小孔径子系统的组合,各子系统光线分别对应一个小的离轴抛物面子镜,在后续子镜求解过程中,认为各子系统之间相互独立,设计过程互不干扰;(2) 针对各子系统分别求解离轴抛物面子镜面型参数,如图10 (b)所示,以其中一个子镜为例,其反射焦距$ \overline{f} $和离轴角β为一对特征参量,依据特征参量可由公式(9)、(10)求解离轴反射镜的其他几何参数值,包括离轴量为D,主光线与子镜交点位置矢高为s,子镜母抛物面焦距为f,曲率半径为R。
$$ s = \frac{{{D^2}}}{{2R}} = \frac{{{D^2}}}{{4f}} $$ (9) $$ \overline f = f + s $$ (10) $$ \mathrm{tan}\;\beta =\frac{D}{f-s}=\frac{2RD}{{R}^{2}-{D}^{2}} $$ (11) $$ D = \frac{{R\;(1 - \cos \;\beta )}}{{\sin\; \beta }} $$ (12) 在完成了所有子系统的设计后,对子镜面型进行拼接融合,在第二步求解得到的子镜结构参数基础上构造一个完整的自由曲面。拼接融合过程中主要解决的问题是各子镜重叠区域的重新构建以及由于子镜拼接处矢高不连续、斜率不相等导致的面型不平滑。由于表面法线方向直接决定出射光线的方向,如图10 (c)所示,采用兼顾采样数据点的坐标和法向量拟合法以获得高精度的自由曲面面型。自此完成自由曲面成像光学系统初始结构的设计,在后续的设计优化中,只需要在初始结构的基础上,对系统布局和面型参数进行微调即可完成系统设计。
利用抛物面扩展融合的初始结构设计方法充分发挥了离轴抛物面无像差、无中心遮拦的优势,构建多个可完善成像的曲面子区域,实现多个对应视场点的理想成像,而后将这些子区域进行拼接融合,得到充分逼近系统像差要求的初始结构。这种小视场/小孔径子镜扩展融合生成复杂面型的设计思想同样适用于同轴光学系统初始结构的构造,2020年,高志山团队将这一面型构造思想与双同心球结构相结合,实现了全视场90°、系统总长2.81 mm的医用内窥物镜设计[43-44]。
Review of design methodology for starting-point of freeform surface imaging optical system
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摘要: 自由曲面设计自由度多、面型表征能力强等优势使成像光学系统突破了传统面型表征和系统结构的限制,在进一步提高成像质量的同时可以实现大视场、大孔径、小型化、轻量化等设计目标。良好的初始结构可以充分发挥自由曲面对像差的校正能力,提高系统设计效率。与共轴光学系统相比,自由曲面成像光学系统设计存在可参考样例少、像差理论尚不完善等问题,其初始结构的构造与求解仍然是先进光学设计领域的前沿热点问题之一。结合课题组多年的研究心得,探讨了现有的自由曲面成像光学系统初始结构设计方法,依据自由曲面构造原理将其分为同轴系统离轴化法、直接设计法、视场孔径扩展法和分段拼接融合设计方法,并分别介绍其设计原理和思路。最后对自由曲面成像光学系统初始结构设计中亟待解决的问题进行了分析总结。Abstract: Freeform surface provides more degrees of freedom for optical system and stronger capability of aberration correction to break the limitation of traditional surface characterization and system structure, which helps engineer to achieve large field of view, large aperture, miniaturization, and lightweight optical system design while improving the imaging quality. A favorable starting-point of freeform surface imaging optical system design can release the potential of freeform surface to correct aberration and improve the efficiency of system design. Comparing to coaxial optical systems, few examples can be referred to for freeform surface imaging optical system and theory for freeform is not perfect yet. Therefore, how to construct and solve a favorable starting-point of freeform surface imaging optical system is one of the frontier issues in the field of optical design. Based on the research experience of author team for many years, this review summarizes the current design methods of freeform surface imaging optical system design, and divides them into disturbing coaxial system method, directly solving method, and expending field or aperture method and stitching and fusion method, according to the construction principle of freeform surface. Finally, the problems to be solved in the design starting-point for freeform surface imaging optical system are analyzed and summarized.
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Key words:
- optical design /
- freeform surface /
- imaging system /
- starting-point
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