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近年来，超短脉冲激光被广泛应用于材料加工、光学频率测量、光学频率梳、显微技术等领域[1-4]。光纤锁模激光器作为一种超短脉冲激光光源，具有结构紧凑、散热性能好、能保持长期稳定运行等优点[5-6]。根据脉冲在激光器腔内的不同演化机制，脉冲可以分为孤子、色散管理孤子、自相似子和耗散孤子[7-10]。而色散管理光纤锁模激光器由于脉冲在腔内的“呼吸”机制降低了脉冲的峰值功率和累积的非线性相移，从而允许输出更短脉冲宽度和更高脉冲能量的激光脉冲[11-12]。对于这种激光器，色散补偿器件是必不可少的，特别是对于掺Yb3+光纤激光器。啁啾光纤布拉格光栅(Chirped Fiber Bragg Grating, CFBG)作为一种色散管理元件，无论在谐振腔内或是腔外都被广泛运用。与光栅对、棱镜对等空间色散元件相比较，CFBG能够光纤激光器实现稳定紧凑的全光纤结构[13]。但由于CFBG的反射带宽远小于掺Yb3+光纤的增益带宽，CFBG在腔内会产生较强的光谱滤波效应，从而影响脉冲在腔内的演化过程，并在腔内色散值近零时带来锁模不稳定现象[14,15]，而这个问题可以通过使用调制深度更高的可饱和吸收体(Saturable absorption, SA)来解决[16]。
为了使输出脉冲各项参数更好，有必要研究色散管理激光器在接近零色散区域的净色散值和非线性对脉冲演化动力学过程的影响。以往的研究一直关注腔内净色散对输出脉冲特性的影响，腔内净色散值不同时输出脉冲的参数和脉冲在腔内的演化过程存在着显著差异[17-18]。增加泵浦强度可以积累更多的非线性相位从而使得输出脉冲光谱宽度更宽，但非线性、色散和耗散过程的相互作用会导致激光器出现不稳定态和多脉冲运行[19]。由于光纤具有较强的非线性和色散特性，脉冲在光纤内传输时时域和频域特性都会发生较大的变化，因此，光纤激光器腔内结构对脉冲演化过程有着很大的影响。池涵、欧阳春梅等人研究了正色散非线性偏振旋转光纤锁模激光器中的非线性优化，当腔内净色散一定时，光纤锁模激光器中单模光纤的不同分布也会影响输出脉冲的特性[20]。与上述研究不同的是，CFBG作为色散管理元件的光纤锁模激光器具有较强的滤波效应。对于基于CFBG进行色散管理的光纤锁模激光器在近零色散区域时单模光纤在腔内分布对输出脉冲参数的影响尚未被人研究。
文中建立了以CFBG为色散补偿元件的掺Yb3+光纤色散管理锁模激光器的数值模型，数值研究了CFBG色散管理光纤激光器中的不同净色散值下，单模光纤在腔内分布对输出脉冲特性的影响。提出了一种通过改变色散管理光纤锁模激光器中单模光纤的分布来优化腔内非线性的方法，以提高维持稳定的单脉冲运转的最大泵浦强度，并获得更宽的输出光谱，从而支持输出脉宽更窄的去啁啾脉冲。
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以CFBG为色散补偿元件的掺Yb3+光纤色散管理锁模激光器的数值模型结构如图1所示。它由两段单模光纤(SMF1和SMF2)、一段增益光纤(YDF)、可饱和吸收体(SA)和一段CFBG组成。增益光纤是一段增益带宽为40 nm、中心波长为1030 nm的掺Yb3+光纤。SMF1、SMF2和YDF的二阶色散系数(β(2))为0.023 ps2/m。位于SMF2后的可饱和吸收体作为腔内的锁模元件，调制深度为34%，非饱和损耗为22%，恢复时间为700 fs，饱和通量为70 μJ/cm2。采用CFBG作为腔内色散管理元件，在模拟中，使用一个光耦合器表示CFBG的输出，一个滤波器模拟CFBG的光谱滤波效应，和一段用于模拟CFBG色散管理的色散补偿光纤(Dispersion Compesation Fiber, DCF)。光耦合器的耦合比为89%；色散补偿光纤在中心波长为1030 nm提供−1 ps2/m的群速度色散其长度为0.1 m；滤波器带宽为17.5 nm，其中心波长为1030 nm。
图 1 CFBG色散管理激光器模拟示意图，字母A-E依次代表SMF1、YDF、SMF2、SESAM、SMF2、YDF、SMF1、CFBG
Figure 1. Schematic illustration of the dispersion-managed fiber laser cavity, the letters A-E represents SMF1, YDF, SMF2, SESAM, and CFBG in turn. OC: output coupler, DCF: dispersion compensating fiber
通过非线性薛定谔方程模拟了脉冲在色散管理光纤锁模激光器中的演化过程[21]：
$$ \begin{split} \frac{{\partial A(z,\tau )}}{{\partial z}} + & \frac{i}{2}\left({\beta ^{(2)}} + ig\frac{1}{{{\Omega _g}}}\right)\frac{{{\partial ^2}A(z,\tau )}}{{\partial {\tau ^2}}} = \\ & \frac{g}{2}A(z,\tau ) + \frac{{{\beta ^{(3)}}}}{6}\frac{{{\partial ^3}A(z,\tau )}}{{\partial {\tau ^3}}} +\\ & i\gamma {\left| {A(z,\tau )} \right|^2}A(z,\tau ) \\ \end{split} $$ (1) 式中：A(z,τ)为脉冲包络的振幅；z为传播坐标；τ为时间延迟参数；β(2)和β(3)分别为光纤的二阶和三阶色散系数；γ为非线性系数；Ωg为YDF的增益带宽；YDF的增益系数g为：
$$ g = \frac{{{g_0}}}{{1 + \dfrac{E}{{{E_{sat}}}}}} $$ (2) 式中：g0为小信号增益；E为腔内能量；Esat为增益饱和能量。可饱和吸收体模型由以下方程建立：
$$ T = 1 - \Delta T/(1 + {P_{ave}}/{P_{sat}}) - {\alpha _{ns}} $$ (3) 式中：ΔT=A0−αns为SA的调制深度；Pave为脉冲的平均功率；Psat为饱和功率；αns为SA的非饱和损耗。
使用分步傅里叶算法对非线性薛定谔方程求解。如果两个相邻循环输出脉冲能量差值的绝对值小于10−9，则认为所得到的解是收敛的。如果在3000圈内不能得到收敛解，认为激光器是不稳定的。
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在数值模拟中，将YDF长度固定，通过改变单模光纤的总长度改变腔内净色散值，改变YDF的增益饱和能量来模拟腔内泵浦强度的变化。模拟了光纤锁模激光器工作在色散管理区域的不同净色散下时，单模光纤在腔内的不同分布对腔内能维持稳定单脉冲运行的最大泵浦强度、腔内能累积的最大非线性相移量和输出脉冲最大光谱宽度（光谱半高全宽）的影响，模拟中使用B积分参量来衡量积累的非线性相移，B积分通过B=∫γP(z)dz计算获得，其中P(z)为脉冲在位置z时的峰值功率。计算表明腔内净色散值近零时(−5.34×10−3 ps2~3.86×10−3 ps2)，单模光纤在腔内的不同分布对输出脉冲性质影响更为明显，此时对应的单模光纤总长范围为1.8~2.0 m。在这个范围内，模拟了单模光纤总长分别为1.8 m、1.9 m和2 m的三种情况。
单模光纤总长度为1.8 m时，腔内净色散值为-5.34×10−3 ps2。固定单模光纤总长度不变，改变SMF1和SMF2的长度占比实现单模光纤在腔内的不同分布，计算了SMF的不同分布对输出脉冲最大谱宽的影响。如图2(a)所示，当SMF1长度小于0.6 m时，随着SMF1长度的减小，能输出的脉冲最大光谱宽度减小，是因为腔内维持单脉冲运转的最大泵浦强度减小，B积分也随之减小。SMF1长度大于0.6 m时，腔内维持单脉冲运转的最大泵浦强度趋于稳定，因此B积分和能输出的最大光谱宽度也都趋于稳定。在SMF1长度为0.1 m时，输出去啁啾脉冲脉宽最窄，如图2 (a)插图所示，此时脉冲宽度为110 fs。选取了SMF1长度分别为0.1 m和1.7 m且设置相同的泵浦强度，模拟输出脉冲光谱形状随循环圈数的变化过程。由于部分情况下得到收敛解需要的循环圈数较多，在循环圈数较小时就已经能明显地观察到变化规律，因此在结果中只取前三百圈来观察脉冲时域和频域形状的变化趋势。SMF1长度为0.1 m时，如图2(d)所示，脉冲光谱形状的变化随循环圈数增加逐渐减小，认为得到的解趋于收敛。SMF1长度为1.7 m时，如图2(e)~(f)所示，脉冲和光谱形状随循环圈数增加出现不稳定态，认为此时腔内能维持稳定单脉冲运转的泵浦强度更低。为了研究单模光纤的分布对脉冲演化过程的影响，模拟了SMF1分别为0.1 m和1.7 m时，脉冲宽度和光谱宽度沿着腔方向的变化，结果如图2(b)~(c)所示。在这两种情况下，脉冲光谱宽度在SMF1、YDF和部分SMF2中逐渐下降。在SMF2中，由于经过CFBG反射的脉冲呈负啁啾，脉冲光谱宽度减小到最小值。在后续光纤的传输中，脉冲逐渐变成正啁啾，由于自相位调制效应，光谱宽度也同时增加。脉冲传输至CFBG中时，由于其强烈的耗散效应，脉冲宽度达到最窄，随后因其光谱滤波效应，从CFBG输出的脉冲光谱变窄。
图 2 (a)最大输出光谱宽度、最大泵浦强度和B积分随SMF1长度的变化；插图:上：当SMF1长度为0.1 m时，去啁啾脉冲的自相关迹；下：当SMF长度为0.1 m时，稳定锁模输出的光谱；(b)~(c)脉冲和光谱宽度在腔内的演化过程；(d)脉冲光谱随循环圈数演化图；(e)~(f) 脉冲时域和频域分别随循环圈数演化图
Figure 2. (a) The output maximum spectral width, the maximum pump strength, and B-integral versus the length of SMF1. Inset: The auto correlation trace of dechirped pulse when the SMF1 length is 0.1 m; (b)-(c) The evolution of the spectral width and the pulse duration in the cavity; (d) Evolution of pulse spectrum with the number of round trips; (e)-(f)the spectral width and the pulse duration evolve with the number of round trips
单模光纤总长为1.9 m时，腔内净色散值为−7.4×10−4 ps2。如图3(a)所示，SMF1长度在小于1.1 m时，单模光纤的不同分布对腔内能维持单脉冲运转的最大泵浦强度影响较小，因此能输出的脉冲最大光谱宽度和B积分也基本不变。但SMF1长度超过1.1 m之后，腔内维持单脉冲运行的最大泵浦强度迅速下降，输出脉冲的最大光谱宽度也随之下降。在SMF1长度分别为1 m和1.1 m时设置相同的泵浦强度，如图3(d)所示，SMF1长度为1 m时，光谱形状随循环圈数的增加逐渐趋于稳定，得到了收敛解。SMF1长度为1.1 m时，如图3(e)~(f)所示，CFBG引入的光谱滤波效应导致脉冲出现分裂现象[22]。同时模拟了两种情况下脉冲在腔内的演化过程。与单模光纤总长度为1.8 m时类似，脉冲宽度在CFBG处达到最小值，因为脉冲啁啾正负的变化，脉冲光谱在腔内均经历了先压缩后展宽的过程，单模光纤的不同分布没有改变脉冲在腔内的演化过程。
上述模拟结果表明光纤锁模激光器净色散值接近0时，SMF1长度对输出脉冲的最大光谱宽度有着较大影响。对比了各种情况下脉冲光谱在腔内的演化过程，均为先压缩后展宽，脉冲的演化过程不会随着单模光纤在腔内的分布不同而被改变。SMF的分布决定了维持腔内单脉冲稳定运行的泵浦强度上限，输出脉冲的最大谱宽仅由最大泵浦强度确定。
单模光纤总长为2 m时，腔内净色散值为4×10−3 ps2。如图4(a)所示，SMF1长度小于0.3 m时，SMF1的长度对腔内维持稳定单脉冲运转的最大泵浦强度影响较小，因此能输出的脉冲最大光谱宽度基本不变。但随着SMF1长度继续增加会出现一个跃变点，维持稳定单脉冲运转的最大泵浦强度急剧上升，输出脉冲光谱宽度也增大。这个点之后腔内能输出的光谱宽度的最大值也几乎不受SMF1长度变化的影响。模拟了跃变点前后的两种情况下，脉冲在腔内的演化过程。SMF1长度为0.3 m时，如图4(b)所示，与前述情况相似，因为脉冲啁啾正负的变化，脉冲光谱沿着传输方向先压缩后展宽，脉冲宽度在CFBG内达到最小值。SMF1长度为0.2 m时，脉冲沿着传输方向啁啾为正，因此光谱在腔内被直接展宽。在这一净色散值下，单模光纤的不同分布会对腔内脉冲的演化过程造成影响。在SMF1长度为0.3 m时，经CFBG反射后的脉冲在时域和频域上均经历了一个呼吸过程；但SMF1长度为0.2 m时，经CFBG反射后的脉冲在时域和频域上均直接单调增加，两种情况下脉冲演化过程不相同，因此输出脉冲光谱宽度也不相同。
图 3 (a)最大输出光谱宽度、最大泵浦强度和B积分随SMF1长度的变化；插图：左: 当SMF1长度为0.1 m时，去啁啾脉冲的自相关迹；右：当SMF长度为0.1 m时，稳定锁模输出的光谱；(b)~(c)脉冲和光谱宽度在腔内的演化过程；(d)脉冲光谱随循环圈数演化图；(e)~(f) 脉冲时域和频域分别随循环圈数演化图
Figure 3. (a) The output maximum spectral width, the maximum pump strength, and B-integral versus the length of SMF1. Inset: The auto correlation trace of dechirped pulse when the SMF1 length is 0.1 m; (b)-(c) The evolution of the spectral width and the pulse duration in the cavity; (d) Evolution of pulse spectrum with the number of round trips; (e)-(f) the spectral width and the pulse duration evolve with the number of round trips
图 4 (a)最大输出光谱宽度、最大泵浦强度和B积分随SMF1长度的变化；(b)-(c) 脉冲和光谱宽度在腔内的演化过程
Figure 4. (a) The output maximum spectral width, the maximum pump strength and B-integral versus the length of SMF1; (b)-(c) The evolution of the spectral width and the pulse duration in the cavity
腔内单模光纤总长进一步增加时，腔内净色散值逐渐偏正。当单模光纤总长为2.1 m时，腔内净色散为6×10−3 ps2。如图5(a)所示，随着SMF1长度的改变，腔内维持单脉冲运转的最大泵浦强度变化较小，这也导致B积分稳定在1.1 π左右，因此脉冲最大输出光谱宽度也基本不变。之后进一步模拟了SMF1长度分别为0.1 m和2.0 m时脉冲在腔内的演化过程，如图5(b)~(c)所示，脉冲传输方向啁啾为正，光谱在腔内被直接展宽。
最后模拟了在相同泵浦强度下，色散管理光纤锁模激光器在不同净色散时的最大谱宽。如图6所示，SMF长度为2.0 m时，输出光谱宽度达到最大值。当SMF的总长度小于2.0 m时，脉冲光谱在腔内先压缩后展宽。当SMF的总长度大于2.0 m时，脉冲啁啾为正，光谱沿着传输方向直接展宽。认为单模光纤总长为2.0 m时是脉冲不同演化过程的分界点，此时腔内单模光纤的不同分布会改变脉冲的演化过程，可以通过优化单模光纤的分布获得最宽的输出光谱宽度，进而支撑更窄的去啁啾脉冲宽度。
图 5 (a)最大输出光谱宽度、最大泵浦强度和B积分随SMF1长度的变化；(b)~(c)脉冲和光谱宽度在腔内的演化过程
Figure 5. (a) the maximum spectral width, the maximum pump strength and B-integral versus the length of SMF1; (b)-(c) the evolution of the spectral width and the pulse duration in the cavity
图 6 在相同泵浦强度下，腔内净色散值不相同时输出脉冲光谱宽度最大值。(a)~(b)为腔内光谱宽度和脉冲持续时间的两种不同演化情况
Figure 6. The maximum spectral width in the cavity under the same pump strength with different NCDs. Inset (a)-(b) two different evolutions of the spectral width and the pulse duration in the cavity
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建立了CFBG色散管理光纤锁模激光器的数值模拟模型，探究了近零色散下腔内单模光纤的不同分布对输出脉冲最大谱宽的影响，提出了一种通过改变CFBG色散管理光纤锁模激光器中单模光纤的分布来优化腔内非线性的方法，从而获得光谱宽度更宽的脉冲。模拟结果表明，在腔内净色散值为负时，CFBG与增益光纤间的单模光纤越短，腔内维持稳定单脉冲运转的最大泵浦强度越高，B积分越大，因此输出脉冲光谱越宽。腔内净色散值越接近零时，SMF1长度对输出脉冲参数作用的影响越显著；腔内净色散值为正时，SMF在腔内的分布对输出脉冲影响逐渐减弱，优化单模光纤分布对提升锁模激光器性能效果并不明显。利用此方法，可以在腔内净色散值不相同时优化腔内结构来获得输出光谱更宽的脉冲，从而使去啁啾后的脉冲宽度更窄，对全光纤结构的锁模激光器输出参数的优化具有很好的指导意义。
Nonlinearity optimization of dispersion-managed mode-locked Yb-doped fiber lasers with near-zero net cavity dispersion
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摘要: 目前，飞秒激光脉冲因脉冲宽度窄和峰值功率高的特点被广泛运用在多种领域中。其中，色散管理光纤锁模激光器因其特有的腔内呼吸机制使输出的激光脉冲能量更高，光谱更宽、脉宽更窄。使用啁啾布拉格光纤光栅进行色散管理的光纤锁模激光器能够实现真正的全光纤结构，提升激光器的紧凑性和稳定性，因此基于啁啾布拉格光纤光栅进行色散管理的光纤锁模激光器具有更加实际的应用意义。采用数值模拟的方法，研究了基于啁啾布拉格光纤光栅进行色散管理的掺镱光纤锁模激光器中单模光纤在腔内的不同分布对脉冲动力学过程和输出脉冲参数的影响。系统分析了谐振腔内净色散值不同时，腔内单模光纤的分布对脉冲在腔内的动力学过程的影响。模拟结果表明，在腔内净色散值为负时，啁啾布拉格光纤光栅与增益光纤间的单模光纤越短，光纤激光器维持稳定单脉冲运行的最大泵浦强度更高且输出光谱更宽，从而能够获得脉宽更窄的去啁啾脉冲；腔内净色散值越接近零时，啁啾布拉格光纤光栅与增益光纤间的单模光纤长度对输出脉冲参数作用的影响越显著；腔内净色散值为正时，单模光纤在腔内的分布对输出脉冲影响逐渐减弱，优化单模光纤分布提升锁模激光器性能并不明显。最后，提出了一种通过改变单模光纤在腔内的分布来提高激光器输出性能的优化方法。Abstract: Femtosecond laser pulses are widely used in many fields due to their narrow pulse width and high peak power. The dispersion-managed fiber mode-locked laser has higher pulse energy, wider spectrum and narrower pulse due to its unique in-cavity breathing mechanism. The fiber mode-locked laser using chirped Bragg grating for dispersion management can realize the real all-fiber structure and improve the compactness and stability of the laser. Therefore, the fiber mode-locked laser using chirped Bragg grating for dispersion management has more practical significance. The effects of different distribution of single-mode fiber in ytterbium-doped fiber mode-locked laser based on chirped fiber Bragg grating on pulse dynamics and output pulse parameters are studied by numerical simulation. The influence of the distribution of single-mode fiber on the dynamic process of pulse in the cavity is analyzed when the net dispersion is different. The simulation results show that when the net cavity dispersion is negative, the shorter the single-mode fiber between the chirped fiber Bragg grating and the gain fiber, the higher the pumping threshold and the wider the output spectrum of the fiber laser can maintain the stable monopulsing operation, so that the narrow pulse width can be obtained. When the net cavity dispersion is close to zero, the effect of the length of single mode fiber between the chirped fiber Bragg grating and the gain fiber on the output pulse parameters is more significant. When the net cavity dispersion is positive, the influence of the single mode fiber distribution in the cavity on the output pulse gradually weakens, and the performance of the mode-locked laser is not significantly improved by optimizing the single-mode fiber distribution. Finally, an optimization method is proposed to improve the output performance of the laser by changing the distribution of single mode fiber in the cavity.
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Key words:
- fiber laser /
- mode-locked laser /
- ultrafast laser /
- chirped fiber Bragg gratings
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图 1 CFBG色散管理激光器模拟示意图，字母A-E依次代表SMF1、YDF、SMF2、SESAM、SMF2、YDF、SMF1、CFBG
Figure 1. Schematic illustration of the dispersion-managed fiber laser cavity, the letters A-E represents SMF1, YDF, SMF2, SESAM, and CFBG in turn. OC: output coupler, DCF: dispersion compensating fiber
图 2 (a)最大输出光谱宽度、最大泵浦强度和B积分随SMF1长度的变化；插图:上：当SMF1长度为0.1 m时，去啁啾脉冲的自相关迹；下：当SMF长度为0.1 m时，稳定锁模输出的光谱；(b)~(c)脉冲和光谱宽度在腔内的演化过程；(d)脉冲光谱随循环圈数演化图；(e)~(f) 脉冲时域和频域分别随循环圈数演化图
Figure 2. (a) The output maximum spectral width, the maximum pump strength, and B-integral versus the length of SMF1. Inset: The auto correlation trace of dechirped pulse when the SMF1 length is 0.1 m; (b)-(c) The evolution of the spectral width and the pulse duration in the cavity; (d) Evolution of pulse spectrum with the number of round trips; (e)-(f)the spectral width and the pulse duration evolve with the number of round trips
图 3 (a)最大输出光谱宽度、最大泵浦强度和B积分随SMF1长度的变化；插图：左: 当SMF1长度为0.1 m时，去啁啾脉冲的自相关迹；右：当SMF长度为0.1 m时，稳定锁模输出的光谱；(b)~(c)脉冲和光谱宽度在腔内的演化过程；(d)脉冲光谱随循环圈数演化图；(e)~(f) 脉冲时域和频域分别随循环圈数演化图
Figure 3. (a) The output maximum spectral width, the maximum pump strength, and B-integral versus the length of SMF1. Inset: The auto correlation trace of dechirped pulse when the SMF1 length is 0.1 m; (b)-(c) The evolution of the spectral width and the pulse duration in the cavity; (d) Evolution of pulse spectrum with the number of round trips; (e)-(f) the spectral width and the pulse duration evolve with the number of round trips
图 4 (a)最大输出光谱宽度、最大泵浦强度和B积分随SMF1长度的变化；(b)-(c) 脉冲和光谱宽度在腔内的演化过程
Figure 4. (a) The output maximum spectral width, the maximum pump strength and B-integral versus the length of SMF1; (b)-(c) The evolution of the spectral width and the pulse duration in the cavity
5 (a)最大输出光谱宽度、最大泵浦强度和B积分随SMF1长度的变化；(b)~(c)脉冲和光谱宽度在腔内的演化过程
5. (a) the maximum spectral width, the maximum pump strength and B-integral versus the length of SMF1; (b)-(c) the evolution of the spectral width and the pulse duration in the cavity
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