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目前,各种子口径加工方式的共同特点是去除与驻留时间的线性关系。为了保证去除只是时间的函数,需要保证单位时间去除量,即去除函数的稳定性。以离子束抛光,磁流变抛光等为代表的光学元件面形误差收敛方式,去除函数稳定性均高于98%以上,去除函数稳定性标定一般可以使用加工沟槽的方式实现,如图1所示。
在保证去除函数稳定的情况下,子口径光学元件加工过程本质上是设备的运动控制问题。通常情况下,可以计算机床的加工响应的最小空间频率
${f}_{\mathrm{min}}$ :$$ {{f}_{\min }} = \frac{{{V_\Delta }^2}}{{2{{{a}}_{\max }}}} $$ (1) 式中:
$ {V_\Delta } $ 为光学加工专机的线速度变化量;$ {{a}}_{\max }$ 为最大加速度。由于空间频率的限制,一般可以采用低通滤波的方式对面形误差进行处理,从而避免无法实现的加工过程。同时,加工过程中设备速度变化不可能阶跃。由于上述原因,需要加工过程中面形误差连续,即面形误差的连续性。
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光学元件本身是自仿射分形结构,其示意图如图2所示。自仿射分形结构的微观形貌与宏观形貌相似,如图3所示。
对于自仿射分形结构,其功率谱密度
$ \text { PSD } $ 可以表示为:$$ PSD \approx k \cdot {q^{ - 2(H + 1)}} $$ (2) 式中:
$ {k} $ 为由面形误差均方根值决定的常数;q为空间频率;对于各向同性的自仿射分形结构,形状决定因子H一般在0~1之间。所以,在频率q之间的自仿射分形结构的功率谱密度如图4所示。由于光学元件的低频误差在PSD中占比较大,需要延拓结果尽量符合低频误差的面形形貌,即面形误差的相似性。
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为了实现面形误差的相似性,需要对分析低阶面形误差采用Zernike分析的方式进行延拓,其算法流程示意图如图5所示。按照加工需求,采用Zernike分析提取低阶面形误差的Zernike系数并进行延拓,并将低阶延拓结果与高阶残留误差相加,得到加工面形的延拓结果。
采用Zernike分析的方式可以完全复制面形误差的低阶形貌,保证面形误差的连续性,但是无法处理面形误差的边缘连续性问题。所以需要采用基于Laplace方程的面形延拓算法对高阶面形误差进行处理。
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针对高阶面形误差分布,假设面形误差分布符合Laplace方程,即延拓后面形误差
$ f(x, y) $ 的$ { x } $ 、$ { y } $ 方向的二阶偏导数之和为$ 0 $ ,$ f(x, y) $ 与时间无关,属于稳恒过程的Laplace方程,如公式(3)所示:$$ \frac{{{f^2}}}{{\delta {x^2}}} + \frac{{{f^2}}}{{\delta {y^2}}} = 0 $$ (3) 其边界条件如公式(4)所示:
$$ \begin{array}{c} f\left(x_{b}, y_{b}\right)= f_{0}\left(x_{b}, y_{b}\right) \end{array} $$ (4) 式中:
$ f_{0}(x, y) $ 为延拓前的面形误差;$({x_{b,}}{x_b}) $ 为延拓边界点的坐标。综上,上述边界条件属于Dirichlet条件,它直接规定未知函数在边界上的数值。基于上述问题,可以设计基于Laplace方程的面形延拓算法,如图6所示。
采用上述算法可以避免Zernike分析中高阶项由于次数过大,在延拓过程中带来的过大的塌边和翘边。但是上述算法无法保证延拓过程中低阶面形误差的相似性,所以需要上述算法组合使用,从而达到光学加工要求。
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综合Zernike分析和Laplace方程可以设计组合算法,流程如图7所示。对原始数据进行低通滤波处理后,通过Zernike分析提取出低频误差和高频误差,对于低频误差,基于Zernike系数并进行延拓得到结果;对于高频误差,通过寻边算法找到边界像素,创建稀疏矩阵并求解,从而得到高频误差的延拓结果,将延拓得到的低阶误差和高阶误差结合,得到最终的延拓结果。
组合算法需要考虑到加工装备的运动特征和光学元件面形误差的特征,实现加工过程中低阶面形误差的相似性和高阶面形误差的连续性。
Method of edge control on surface error in aspherical optics (invited)
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摘要: 计算机控制光学元件面形修复(Computer Control Optics Surfacing, CCOS)需要通过计算驻留时间,反复迭代,从而得到更小的误差。因为干涉测试过程中边缘面形测试的条件限制,只能得到更小孔径的误差分布图,所以面形的预测性延拓是磁流变抛光、离子束抛光等加工方式的基础技术。基于面形误差的相似性和边缘误差的连续性为出发点,开发了采用基于Zernike拟合和Laplace方程配合的方法进行光学元件面形误差边缘延拓技术。开展了相关理论分析,设计相关算法并实现了延拓过程,延拓结果符合面形相似形和连续性的加工要求,采用直接法和残余误差计算方法对延拓结果进行评估,结果证明了延拓方法的有效性。Abstract: Computer Control Optics Surfacing (CCOS) requires the surface error map for iterative processing to get low error by dwellingtime caculation. Because the smaller aperture of error map will be gotten in interferometer on edge of optic work part, so the predictive extrapolation of surface error map is the basic technology of magneto-rheological polishing, ion beam polishing and other machining methods. Based on the similarity of surface error and the continuity of edge error, the extrapolation of surface error method was developed, based on Zernike fitting and Laplace equation. The theory was studied and the algorithm was developed to get extrapolation of surface error map, fulfilling the similarity and the continuity. The result was evaluated by surface error comparison and residual error calculation, which was proved to be effective.
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Key words:
- optics testing /
- extrapolation of surface error map /
- Zernike fitting /
- Laplace equation
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