Simulation system of a laser heterodyne interference signal for space gravitational wave detection

2016年2月，美国的地基激光干涉引力波天文台（LIGO）公开了人类历史上第一次直接探测到的引力波结果^[1]，但受到地面的臂长限制以及地表低频震动的影响，有效探测频段均在1 Hz~1 kHz的高频段上^[2]。在空间进行引力波探测可以探测到引力波资源更为丰富的中低频段^[3-4]，目前的空间引力波探测计划主要有美国NASA和欧洲ESA合作的LISA（Laser Interferometer Space Antenna）计划^[5]以及中国的“太极”计划^[6]和“天琴”计划^[7]，且均已经通过技术验证卫星完成了部分关键技术的测试^[8-11]。

“太极计划”预计发射三颗卫星在太空中组成臂长300万公里的等边三角形编队，通过测量相位的方式推导出测试质量间的位移变化，以此来反演引力波信息^[12]。实现相位测量功能的载荷称为相位计，要求在0.1 mHz~1 Hz的频率范围内相位测量精度优于$1\;\rm pm/\sqrt{\rm H{{z}}}$^[6,13]。根据空间引力波探测的任务需求，激光链路需要同时具备测试质量的相对位移测量、时钟边带调制、激光测距通信等功能^[2,14]，因此相位计需要同时对主载波拍频、时钟边频、导频以及测距通讯编码进行处理，过程复杂且精度要求极高。因此，在地面上对相位计进行全面测试是完成空间工程任务的重要基础。

目前国内外针对空间引力波探测相位计的研究主要集中在单项功能及性能测试，各个单项功能的测试信号主要由激光外差干涉测量光机平台生成或采用商用信号发生器模拟^[12,14]。相位计的全功能集成研究正处于起步阶段，但是激光外差干涉测量系统光机平台状态更改难度大，无法全面模拟在轨各工况下的噪声，且无法实现多普勒频移。商用信号模拟器不能实现多种类、高复杂度的星间外差干涉信号模拟，均不能满足相位计全面测试的需求，因此需要设计空间激光外差干涉信号模拟系统。

目前国内外仅阿尔伯特·爱因斯坦研究所（Albert Einstein Institute in Hannover，AEI）的Iouri Bykov为LISA的相位测量系统设计了专用的信号模拟器，但是并没有专门的文献对设计过程及原理进行描述^[15-16]。

基于相位计的地面测试需求，分析外差干涉信号的特性，研究信号模拟系统的实现原理及方法，设计了空间引力波探测激光外差干涉信号模拟系统（简称信号模拟系统）。信号模拟系统能产生三个独立的参数可调的正弦信号、PRN序列脉冲信号、多普勒变频信号以及功率谱恒定的白噪声等多种信号源，频率覆盖范围2~20 MHz。该系统在现场可编程门阵列（Field Programmable Gate Array, FPGA）中实现，通过RS422与PC端通信，支持PC端更改模拟的信号参数，具有可编程性强、操作简单等优点。通过示波器及频谱分析仪验证了模拟信号的时频特性，实验证明，该信号模拟装置模拟的信号符合理论预期，满足相位计的地面测试需求。

空间引力波探测激光外差干涉原理如图1所示。两卫星分别载有独立的激光光源（激光1和激光2），卫星2接收来自卫星1发出的激光1，在卫星2上的测试质量2反射后与激光2发生干涉，通过四象限光电探测器（Quadrant Photoelectric Detector，QPD）转化为电信号。通过相位计读出激光2和接收激光的相位差，应用弱光锁相的方式将激光2和接收激光进行差频相位锁定，使激光2携带接收激光的相位信息。将锁定后的激光2向卫星1发射，经卫星1的测试质量1反射后与激光1发生干涉，则外差干涉信号中包含了两卫星间测试质量的距离变化信息^[12]。通过相位计测量卫星1中激光干涉信号的相位变化，就可以反演由引力波所引起的测试质量间的距离变化。经推导，卫星1中干涉信号的相位变化与测试质量间距离变化之间的关系式为：

Figure 1.  Schematic diagram of principle of space gravitational wave detection laser heterodyne interference

式中：$ \Delta \varphi $为卫星1中激光干涉信号的相位变化；$ \Delta L $为测试质量间的距离变化；$ { \lambda } $为应用的激光波长。

空间激光外差干涉信号（简称外差干涉信号）的主体信号包括主载波拍频、两个时钟边频以及测距通信编码。引入的关键噪声包括多普勒频移以及散粒噪声。

（1）主载波拍频与时钟边频

M.Tinto等人提出将振荡器的时钟噪声信号倍频并通过电光调制器（Electro-Optic Modulator，EOM）调制到载波激光相位上，在产生的时钟边频信号中提取出时钟噪声，进而在时间延迟干涉技术（Time-Delay Interferometry，TDI）的数据组合中消除^[17]。为了不影响科学信息的顺利读出需要保留强载波信号，只有10%的激光功率能用于时钟边带传输，且时钟边频的频率与主载波拍频的频率至少需要相差1 MHz来保证三个拍频信号的频率可以分别被相位计捕获。由于多普勒频移的存在，“太极计划”预计主载波拍频频率保持在3 ~19 MHz的频率范围内，时钟边频的频率范围为2~20 MHz^[13]。

（2）通信测距编码

应用直接序列扩频（Direct Sequence Spread Spec-trum，DS/SS）方案实现激光测距通信功能。该方案将[0, 1]序列形成的伪随机噪声（Pseudo-Random Noise，PRN）码与较低速率的数据信号进行异或编码后，应用BPSK原理相位调制在载波激光中^[14]。测距通信应用的PRN码为偶数长度，1024个码片为一个周期，且每一组PRN码的自相关性在对准时刻出现峰值，其余时刻接近于0。这样可以在接收端的相位计中应用PRN序列的时间对准进行解调处理，读出数据信息并确定延迟时间，进而计算出航天器间的绝对距离。

如图2所示为空间引力波探测测距通信系统的设计参数，系统时钟为70 MHz，PRN码片速率为2.2 MHz （70 MHz/32），与约34 kbps （2.2 MHz/64）的数据进行编码后，得到频率约2.1 kHz的一个序列周期，该周期中包含了1 024个PRN码片，携带了16 （1024/64）个数据信息。为了不影响科学测量，测距通信编码仅占整体功率的1%。

Figure 2.  Design parameters of the ranging and communication system

空间引力波探测任务中对主体信号影响最大的关键噪声来源为多普勒频移和散粒噪声。

（1）多普勒频移

由于轨道动力学，航天器间会产生相对速度，在信号中引入多普勒频移$ {f}_{D} $，近似为：

式中：$ {f}_{L} $为本地激光的发射频率；${V}$为航天器间视线速度；c为光速。系统工作时，卫星1与卫星2发射的激光频差预先确定，由于多普勒效应的影响卫星2接收到的光信号将会发生频率变化。根据“太极计划”目前的轨道估算出的多普勒频移的变化速率约为1~3 Hz/s^[13]，在“太极计划”的五年工作寿命中，这种由于多普勒引起的频率变化约为±5 MHz^[13]。接收端的相位计通过频率捕获功能可以获取受多普勒效应影响的外差信号的频率，其结果可以消除多普勒频移的影响，使相位计可以读出外差信号的相位。

（2）散粒噪声

散粒噪声是光学测量中最基本的噪声之一，从统计物理可知，激光器发射的光子数目本身是有涨落的，这种涨落服从泊松分布，QPD检测到光子的统计相位分布会引入散粒噪声^[3]。

假设激光功率为P，单位时间光子数为N，光子数$ \mathrm{\Delta }N $服从泊松分布，激光的相位涨落$ \mathrm{\Delta }\varphi $和光子数涨落存在关系：

式中：$ h $为普朗克常数；$ f $为激光频率。虽然散粒噪声可以写作函数形式，但实际上呈现出具有平功率谱密度的白噪声分布。

根据QPD输出的光电流与接收的干涉光功率成正比的性质，去掉QPD不能响应的高频部分并忽略直流分量，经跨阻抗放大器（Trans-Impedance Amplifier，TIA）输出的单个象限段电压公式为：

式中：$ \eta $为QPD的响应度；$ {G}_{TIA} $为跨阻抗放大器的增益；$ N $为光电二极管的段数（QPD中$ N $=4）；$ {P}_{S} $和$ {P}_{L} $分别为接收的信号光功率和本地激光功率；$ \gamma $为外差干涉效率；$ {J}_{k}\left(m\right) $表示第一类第k阶贝塞尔函数；$ {m}_{sb}\approx 0.45 $为相位调制指数，在此小调制指数下，贝塞尔函数仅保留$ {J}_{0} $和$ {J}_{1} $项；$ {f}_{het} $、$ {f}_{sb1} $、$ {f}_{sb2} $分别为主载波拍频以及上下时钟边频的频率；$ {f}_{D} $为多普勒频移引起的频率变化；$ \phi $、$ {\phi }_{sb1} $、$ {\phi }_{sb2} $分别为主载波拍频、上下时钟边频的相位，其中包含科学信息；${m}_{prn}\approx 0.2\;\rm rad$代表测距通信调制指数；$ {c}_{n} $为二进制[0, 1]序列组成的PRN码，脉冲形状由周期$ 1/{T}_{c} $的$ p\left(t\right) $给出；$ n\left(t\right) $代表散粒噪声。

结合公式(4)可知，外差干涉信号的模拟需要在正弦信号的基础上，灵活地进行参数（频率、相位、幅度）调制。J.tierney和C.M.Tader提出的直接数字合成器（Direct Digital Synthesizer，DDS）概念可以很好地满足笔者项目的设计需求^[18]。

DDS的基本结构如图3（a）所示，包括相位累加器（Phase Accumulator，PA）、相位振幅转换器(通常为正弦ROM)、数字模拟转换器（Digital-to-Analog Converter，DAC）和滤波器。

Figure 3.  （a） Schematic diagram of the basic principles of the DDS; （b） DDS block diagram with parametric modulation function; （c） The output waveform of PR; （d） The output waveform of ROM; （e） The output waveform of DAC; （f） The output waveform of filter

PA由48位频率寄存器、全加法器和相位寄存器（Phase Register，PR）组成。频率寄存器存储一个数字相位增量字（PIR），每个时钟脉冲PIR被添加到PR保存的数据中。PIR表示每$ 1/{f}_{clk} $s增加一个相角到先前的值（$ {f}_{clk} $为系统时钟频率），从而在PA输出处产生一个线性增加的相位数字值，如图3（c）所示。ROM是一个正弦查找表（LUT），它将数字相位信息转换为正弦波的幅值，因此得到一个离散的近似正弦序列，如图3（d）所示。通过DAC可以得到量化的模拟正弦波，如图3（e）所示。随后经过滤波器得到了近似的正弦信号，如图3（f）所示。

DDS的全数字生成方式方便对生成的正弦信号进行数值调制。改变PIR的值实现信号频率的调整，在PA与ROM间添加加法器增加相位偏置实现相位调制，在ROM生成离散近似正弦序列后，通过乘法器进行比例缩放实现幅值调节。带参数调制功能的DDS实现原理框图如图3（b）所示，以此为基础可实现各种复杂的调制方式。

混合同余法生成均匀分布随机数有自由度高、变换简单且周期可控的优点，用于模拟功率谱恒定的白噪声，迭代式如下：

式中：$ a $为因子；$ {x}_{0} $为初始值；$ b $为常数；$ M $为模；$ {x}_{n} $是在（0, $ M $）内服从均匀分布的随机变量。由上式可看出混合同余法是一种递归的算法，从一个初始值出发可以得到一组不超过$ M $的整数数列。但式中$ a $、$ {x}_{0} $、$ b $、$ M $不能随意取值，否则会破坏统计特性。经试验表明，应用以下参数产生的随机序列有较好的统计特性^[19]：

根据公式（4）的外差干涉信号模型并结合相位计的地面测试需求，空间激光外差干涉信号模拟系统设计需要满足以下要求：

（1） 需要三个独立的通道分别生成可以自由调节参数、有固定的频率差（0、±1 MHz）的三个正弦信号；

（2） 需要灵活地对三个信号调频、调相、调幅；

（3）需要在模拟器内部生成PRN码用于DS/SS测距通信；

（4）需要模拟出功率水平可调的散粒噪声；

（5）需要能够灵活调节加入的主体信号和噪声的种类及参数。

模拟的外差干涉信号参数见表1。为了能够在仿真图中快速观察到多普勒频移速率的作用效果，仿真中将多普勒频移速率更改为100 kHz/1 ms，实际应用中为1~3 Hz/s^[13]。

信号模拟系统需要灵活调节加入的主体信号和噪声的种类及参数，设计程序时需将每一个模块独立出来，便于通过PC端控制各个模块的启停，并进行参数设定。PC端与信号模拟系统通过RS422协议进行通信，传输波特率为115 200 bps。信号模拟系统输出的信号接入测试设备进行时频特性的测试。具体方案设计如图4所示，其中虚线箭头表示指令与参数的流向，实线箭头表示数据流向。

Figure 4.  Design scheme of the simulation system of space laser heterodyne interference signal

硬件平台主要包括晶振单元、FPGA单元、DAC单元，如图5（a）、（b）所示，其中DAC单元包括DAC以及DAC的后端模拟放大电路。

Figure 5.  (a) FPGA and crystal oscillator unit; (b) DAC unit; (c) DAC back-end analog amplifier circuit

晶振单元用于为FPGA单元提供外部时钟，结合后续优化及工程测试需求，应用SUNNY公司陶瓷SMD系列中SCO-533350-80M型号的晶振为系统提供80 MHz的外部时钟输入。

FPGA单元生成16位幅值的外差干涉信号，并为DAC单元提供采样时钟。采用K7系列中XC7K325T型号的FPGA，拥有丰富的逻辑资源，方便日后进行功能添加及系统程序优化。

DAC单元包括DAC和DAC后端模拟电路。选择LTC1668作为DA转换芯片，该芯片支持16位并行数据输入，采样时钟范围50~75 MHz，建立时间至少为8 ns，保持时间最小4 ns。DAC后端模拟放大电路设计如图5（c）所示：I_A、I_B为LTC1668的两路输出电流，输出范围0~10 mA。经过后端模拟电路放大，输出电压V_OUT的范围为±1 V，电压信号经低通滤波器后通过SMA端口输出至测试设备中。

如图4所示，程序主要包括时钟模块、通信模块、三个拍频生成模块、三个幅度调制模块、多普勒频移模块、测距通信模块、散粒噪声模块以及信号耦合模块。

时钟模块将80 MHz的外部时钟分为70 MHz的系统时钟$ {f}_{clk} $和有相位偏移的DA采样时钟$ {f}_{DAC} $。

通信模块读取PC发出的指令、参数及测距通信传输的数据信息，并分配到其余各个模块中。

三个拍频生成模块可以同时进行三个不同频率的正弦拍频信号输出。PC端可以设置三个拍频信号的初始频率，程序中留有48位的频率调制端口（pinc端口）以及48位相位调制端口（poff端口），可以输出频率范围为2~20 MHz的16位幅值正弦信号。

多普勒频移模块可以从通信模块获得PC端发出的指令及频移速率，本程序能够实现频率的最大移动范围为2~20 MHz，移动速度为100 kHz/1 ms，通过pinc端口同时实现三个拍频信号的频率调制。

测距通信模块可以从通讯模块获得PC端的指令及数据，将数据与内置查找表中的PRN码异或为测距通信编码，应用BPSK原理通过poff端口调制在主载波拍频的相位中，通过PC设置调制指数。

散粒噪声模块生成功率谱恒定的白噪声，通过拍频生成模块的poff相位偏置端口进行相位调制。

幅度调制模块为乘法器，分别对三组信号进行幅度调制，使主载波拍频与时钟边频满足理论功率比。三个幅度调制模块输出的三路拍频信号在信号叠加模块耦合成一路信号，并行输入至DAC单元中。

在ISE14.7平台上应用VHDL语言进行系统编程，应用modelsim观察输出波形的时域特性，并与matlab联合进行信号数据的频域特性分析。

为了更好地测试多普勒频移的作用效果，仅模拟主载波拍频信号及多普勒频移的功能。主载波拍频起始频率为15 MHz，多普勒频移变化速度为100 kHz/1 ms，实现的频率变化范围为2~20 MHz。由DDS的舍入误差引起的频率误差不超过$ 1.4\times {10}^{-7} $ Hz，可忽略。理论的频率变化与实际仿真输出的频率变化如图6所示，蓝色实线为信号的理论输出频率，红色虚线为信号仿真的实际输出频率，频率变化符合预期要求。

Figure 6.  Comparison diagram of the theory and simulation results of Doppler frequency shift function

根据表1的主体信号参数进行程序编写，包括三个拍频信号以及测距通信编码。理论上，主载波拍频与上下时钟边频的功率相差约为25 dB，扩频通信编码主瓣占据带宽约为通信编码速率的二倍。将数据从modelsim导入matlab中进行频域分析，结果如图7（a）所示。

Figure 7.  (a) Spectrum diagram of the main signal; (b) Spectrum diagram of the main signal coupled with shot noise

仿真结果中，主载波拍频与上下时钟边频的功率相差约为25.4 dB，上下时钟边频的功率有微小偏差，这是由于傅里叶变换加窗截取的数据非整周期导致的。扩频通信编码主瓣占据带宽约为4.4 MHz，符合扩频通信的理论频谱带宽。综上所述，仿真的外差干涉主体信号的频域特性与理论预期一致。

在主体信号中分别添加信噪比为55 dB和75 dB的散粒噪声进行仿真测试，设计参数见表1，仿真结果如图7（b）所示。

图中紫色点线代表无噪声的主体信号频谱图，红色实线及绿色实线分别代表在主体信号中添加信噪比55 dB和75 dB的散粒噪声的频谱图，可以看出，当信噪比过低时，噪声信号完全淹没了测距通信扩频的频谱，这会增加通信的误码率，因此尽可能降低噪声水平是完成空间引力波探测任务的重要研究方向。

通过硬件平台验证信号模拟系统的基本功能及信号质量，选用Tektronix公司MDO3024型号的示波器观察信号时域特性，应用RIGOL公司DSA705型号的频谱分析仪分析信号频域特性，并对系统的信号频率范围、杂波抑制以及谐波（二次）抑制能力进行测试。

模拟系统最终实现的各个基本参数如下：四个16位并行数据处理的DAC通道、70 MSPS采样率，幅值输出范围为±1.08 V。如图8所示，由于使用了低通滤波器，模拟的信号频率在13 MHz以上无二次谐波影响，结果表明：在2~20 MHz的频率范围内杂波抑制（红色实线）程度可达−53 dBc，谐波抑制（二次）可达到−47 dBc以下。

Figure 8.  Schematic diagram of harmonic clutter suppression in the frequency range of 2-20 MHz

为方便观察生成信号的频域特性，以下实验均不涉及多普勒频移功能。

用信号模拟系统生成主载波拍频与两个时钟边频耦合后的信号，应用示波器观察到的信号波形如图9（a）所示，可以看出幅度的规律增减，因边频的功率仅占10%，所以信号“拍”的现象不明显。应用频谱分析仪对该信号进行频域特性分析，结果如图9（b）所示。经测量，主载波拍频与两个时钟边频信号的幅值比相差约25.08 dB，无杂散动态范围可达62.8 dBc，满足相位计的测试需求。

Figure 9.  (a) Waveform diagram of the main carrier beat coupled with the two time side-beat; (b) Frequency domain diagram of the main carrier-beat coupled with two time side-beat; (c) Main signal spectrum diagram of heterodyne interference signal; (d) Spectrum diagram of the principal signal coupled with 75 dB shot noise

应用信号模拟系统生成外差干涉信号的主体信号，包括主载波拍频、两个时钟边频以及测距通讯编码。应用频谱分析仪对输出信号进行频谱分析，结果如图9（c）所示。从图中可以看出测距通信扩频的频谱特征明显，且与时钟边频功率相差约20 dB，测试结果与理论及仿真结果相符，并且由于频谱分析仪中采样点数更多，得到的模拟效果比仿真结果更接近理论频谱。

应用信号模拟系统生成在主体信号中耦合75 dB散粒噪声的信号。应用频谱分析仪对输出信号进行频谱分析，结果如图9（d）所示，测距通信扩频的频谱大部分被噪声覆盖，预期效果与仿真结果（图7（b）绿色线）吻合。

综上所述，信号模拟系统生成的信号频域特性符合理论预期，满足相位计地面测试需求。

根据空间引力波探测“太极计划”对相位计进行地面测试的需求，根据激光外差干涉信号的理论特性及参数，设计了空间激光外差干涉信号模拟系统。介绍了空间引力波探测的工作原理，分析了空间激光外差干涉信号的特性，研究了主体信号以及噪声的数字模拟方法，并基于FPGA硬件平台，搭建了激光外差干涉信号模拟系统。仿真结果表明，多普勒频移的功能模拟符合预期要求。实验结果表明，信号模拟系统的频率范围在2~20 MHz时杂波抑制比为−53 dBc，谐波（二次）抑制达到−47 dBc，模拟信号的时频特性符合理论预期，满足空间引力波探测相位计的地面测试需求。