Design of on-chip dot array structured light projector using bottom-emitting VCSEL

典型的点阵结构光3D传感装置首先由红外激光点阵投射装置投射出近红外波段的点阵光斑，点阵图案受到物体表面形状的影响而产生形变，发生形变后的图案被红外图像传感器接收，最终基于图案的形变程度以及传感器与光源的位置关系计算出目标物的深度信息，该技术目前已经广泛应用于人脸识别^[1]、体感游戏^[2]、人机交互^[3]、机器视觉^[4]等领域。红外激光投射装置通常由激光源（laser source）、晶圆级镜头（wafer level optics, WLO）和衍射光学元件（diffractive optical element, DOE）三部分组成^[5]。投射装置的工作原理是晶圆级镜头利用光的折射原理，将波瓣较宽的衍射图案校准汇聚为窄波瓣的近似平行光，光再经过衍射光学元件的衍射分束为若干束光线，从而在一定衍射距离处得到散点状的结构光^[6]。

现有结构在计算DOE相位时将入射光简化为平面波，然而高斯光束经透镜准直后依旧为高斯光束，这样会导致投影点阵均匀性下降，光强分布不均匀，中心零级衍射较强。现有的点阵投影装置中，WLO和DOE通常是单独生产制造，因此使用中需要将这两部分与激光源同轴安装调试。而WLO需要根据入射光的发散角和透镜焦距来确定其安装位置，以确保经过透镜的高斯光束准直为近似的平行光。此外，由于透镜本身会对入射光发生反射和吸收，从而降低对入射光利用率。

目前已有研究人员在底发射VCSEL衬底上刻蚀DOE和微透镜来获得均匀的平顶光^[7]和减小光束发散角^[8]，并没有用来获取点阵结构光。为此，笔者提出了一种片上点阵结构光投影装置，考虑实际底发射垂直腔面发射激光器（vertical-cavity surface-emitting laser, VCSEL）衬底厚度，利用基于瑞利-索末菲衍射积分的Gerchberg-Saxton加权改进算法^[9]得到DOE的相位分布，最终获得可直接制备在衬底背面的DOE元件设计方案。相比于现有的点阵投影装置，文中设计的新型结构在保证点阵投影效果和抑制零级衍射的同时省去了WLO，大幅度降低了系统复杂度，并提高入射光利用率，为实现片上点阵结构光投影结构提供了一个新思路。

图1为目前通用的点阵结构光投影装置结构示意图（标记为结构1）。图中，VCSEL阵列作为激光源，激光光束经过准直透镜准直后入射到DOE，再通过DOE整形后最终在接收屏上形成特定的光强分布。图2为文中提出的一种片上点阵结构光投影装置示意图（标记为结构2），采用底发射VCSEL作为光源，其省去了图1中的准直透镜，并将DOE直接集成在VCSEL衬底背面，底发射VCSEL发出的高斯光束经过衬底背面的DOE的光束整形后在衍射接收屏上形成点阵光。在衬底上设计DOE的关键就是考虑实际衬底厚度的限制，同时利用入射光的复振幅分布和出射光的强度分布求解得到DOE的相位分布。

Figure 1.  Schematic diagram of existing dot array structured light projector

Figure 2.  Schematic diagram of on-chip dot array structured light projector

计算结构2中衬底上DOE的相位分布。设底发射VCSEL从氧化孔径处发出的是拉盖尔-高斯光束，则其复振幅分布函数可表达为：

式中：$ r = \sqrt {{x^2} + {y^2}} $表示氧化孔径到DOE上采样点的距离；$ \phi $表示幅角；$ {\textit{z}} $表示氧化孔径到DOE的距离（$ 0 \lt {\textit{z}} \lt 1\;{\text{mm}} $）；$ {w_0} $表示束腰半径（VCSEL激光器的光束束腰近似在氧化孔径处，$ 0 \lt {w_0} \lt 10\;{\text{μm}} $）；$ w\left( {\textit{z}} \right) $表示距离束腰为$ {\textit{z}} $处的光斑半径；$ R\left( {\textit{z}} \right) $为光束传播到$ {\textit{z}} $处时的等相位面曲率半径；$ \lambda $表示波长；$ {C_{mn}} $表示归一化常数；$ L_n^m $表示缔合拉盖尔多项式。$ m $和$ n $与高阶模的级次有关，光斑在径向$ r $有$ n $条节线，在幅角$ \phi $方向有$ m $条节线。$ \cos m\phi $和$ \sin m\phi $的区别在于光斑的极值和零点的方向互易。

设DOE的相位分布为$ \varphi \left( {x,y} \right) $，则其透过率函数为：

当DOE上的入射光的复振幅分布为$ {U_{mn}}\left( {r,\varphi ,{\textit{z}}} \right) $时，从DOE出射的复振幅分布为：

因此，根据瑞利-索末菲衍射积分可知^[10]，距离DOE面$ {{\textit{z}}_1} $处的衍射屏上光场分布为：

其中，脉冲响应函数：

式中：$ k = {{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } \lambda }} \right. } \lambda } $为自由空间的波数，$ {{\textit{z}}_1} $为从DOE到衍射屏的衍射距离；$ {R_1} $为DOE面上采样点到衍射屏上采样点之间的距离，可表示为：

通常情况下，公式(4)不存在解析解，通过求和方式非常耗时，可以对瑞利-索末菲衍射积分做远场近似，将其简化成快速傅里叶变换形式，大大减少了计算量。首先，在远场条件下将$ {R_1} $近似为$ {r_1} $，即：

公式(4)可以改写为：

调整光强和坐标变换^[11]：

公式(8)可改为：

式中：$ \mathbb{F}\left\{ {} \right\} $代表二维傅里叶变换。由此便得到了激光光束在经过衬底上DOE后在$ {{\textit{z}}_1} $处的复振幅分布。

随后，将G-S算法结合上述求解远场复振幅分布的方法即可求出衬底上DOE的相位分布。G-S算法的本质就是利用快速傅里叶变换（fast Fourier transform, FFT）和快速傅里叶逆变换（inverse fast Fourier transform, IFFT）在输入面和输出面之间往复迭代，最终获得输入面的相位分布。

计算DOE相位分布的具体步骤为：

(1) 确定目标光场和采样倍数。将编码图（图3(a)）作为目标光场并进行坐标变换和光强调整，对每个编码元素进行采样，水平和竖直方向上的采样间隔为$ \Delta {x_1} $和$ \Delta {y_1} $，衍射面的采样倍数与入射面（DOE面）的采样倍数相同，采样倍数越小则编码图（目标光场）在衍射面上的还原度越差，采样倍数越大还原误差越小，但相位的计算量越大。此外，为了降低场内噪声和增加设计中的振幅自由度，需要对信号窗口外进行补0操作，同理，补0区域过大和过小也会对相位计算造成影响；

Figure 3.  Dot array coded pattern

(2) 确定DOE设计参数。由入射波长、衍射距离和采样倍数确定入射面的采样间隔$ \Delta x $和$ \Delta y $；

(3) 确定DOE面的初始相位值$ \varphi \left( {x,y} \right) $ （取值为$ 0 \sim 2{\text{π }} $的随机值），设置最大迭代次数${{K}}$或迭代终止条件；

(4) 通过公式(1)～(10)计算输出面（衍射屏）的复振幅分布$ u\left( {{x_2},{y_2}} \right) $；

(5) 保留$ u\left( {{x_2},{y_2}} \right) $的相位$ \varphi \left( {{x_2},{y_2}} \right) $，利用G-S加权改进算法^[12]将输出面的振幅替换为目标振幅$\; \beta Ag\left( {{x_2},{y_2}} \right) + \left( {1 - \beta } \right)\left| {u\left( {{x_2},{y_2}} \right)} \right| $，$ 0 \leqslant \beta \leqslant 2 $，得到输出面复振幅分布$ {u^\prime }( {{x_2},} {{y_2}} ) $。对$ {u^\prime }\left( {{x_2},{y_2}} \right) $做二维傅里叶逆变换，得到DOE面的复振幅分布$ {u_{\text{t}}}^\prime \left( {{x_2},{y_2}} \right) $；

(6) 通过计算$ {u_{\text{t}}}^\prime \left( {{x_2},{y_2}} \right) $的相位角，得到DOE的相位$ \varphi '\left( {x,y} \right) $。由于DOE的设计和制造较为复杂，为了方便后续制造采用二进制DOE，将$ \varphi '\left( {x,y} \right) $量化为0和$ {\text{π }} $^[13]，即${\varphi ^{\prime \prime }}\left( {x,y} \right) = \left\{ \begin{gathered} 0, - \frac{\pi }{2} \lt {\varphi ^\prime }\left( {x,y} \right) \lt \frac{\pi }{2} \hfill \\ \pi ,{\rm{other}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$，将新的相位$ \varphi ''\left( {x,y} \right) $作为DOE的初始相位；

(7) 重复步骤(4)~(6)，直至达到最大迭代次数${{K}}$或满足迭代截止条件，最终获得目标DOE的相位分布。

采用图2所示的新型结构来模拟点阵结构光投影，新型结构的参数设置如表1所示。输出光为基模拉盖尔-高斯光束，$ {w_0} = 2\;{\text{μm}} $，$ {\textit{z}} = 505\;{\text{μm}} $，$ L = 500\;{\text{μm}} $，DOE的采样间隔为：

式中：${{\textit{z}}_1}$为经过DOE后的衍射距离。DOE的刻蚀深度为^[14]：

文中采用的点阵编码如图3(a)所示。由于大尺寸目标光场的编码点数太多，计算量非常大，只选取了点阵编码中心位置的5×5个编码点（图3(b)）进行验证。为了增加设计自由度和抑制场内噪声，对5×5的编码区域外补0处理，补0后的目标光场边长是原来的1.8倍，形成新的9×9编码图案（图3(c)）。设每个编码点的采样倍数为3×3，即整个编码区域的采样点数为$ {\left( {9 \times 3} \right)^2} $，图4(a)为计算得出的DOE相位分布图，白色部分表示相位为$ {\text{π }} $，黑色部分表示相位为0，图4(b)为衍射面处的输出光光强分布。同样，将编码点的采样倍数改变为5×5和7×7后，再分别计算得到DOE相位分布和输出光光强分布，如图4(c)~(f)所示。若将编码点的采样倍数增加，从图4中可以看到相位分布会更加细化和复杂，相应的相位计算量也更大。

Figure 4.  Simulation results under different sampling ratio

通过仿真计算可知，当采样倍数为7×7时，最终的输出光光强与目标光强最为吻合，虽然存在一定的误差和畸变，但不影响特征点匹配，而采样倍数为3×3时，输出光畸变较大，影响特征点匹配。理论上，在一定范围内采样倍数越大，还原编码图时的误差畸变越小，也就是实际出光的光强分布和目标光强分布差别越小。

为了比较结构1和结构2对最终输出光光强分布的差异，对结构1也进行了相同计算，衍射全角、DOE的采样间隔、衍射距离、补0区域等都保持不变。采样倍数分别设置为3×3、5×5和7×7，对补0后的9×9编码点进行计算，结果如图5所示。比较图4和图5的出射光光强分布可知，结构1得到的输出光光强分布不均匀，这是由于在计算DOE相位时为了简化计算复杂度，将经过准直后的高斯光束近似为平面波，而实际情况下高斯光在经过准直镜准直后依旧为高斯光，那么计算得到的DOE相位分布并不精确，因此结构1在实际出光时会有较强的零级衍射。此外，在实际应用中，高斯光束经过准直透镜时会发生反射和吸收，损失一部分入射光，降低入射光利用率。

Figure 5.  Output light intensity distribution of structure-1

为了对输出光质量进行定量评价，引入三个评价函数，分别为均方误差（mean squared error, ${\rm{MSE}}$)^[15]、峰值信噪比（peak signal-to-noise ratio, ${\rm{PSNR}}$）^[16]和光能利用率（light utility efficiency, $ \eta $）^[17]，分别探讨采样倍数$ M \times N $、束腰半径$ {w_0} $、衬底厚度$ L $对输出光质量的影响。其中，${\rm{MSE}}$代表输出面光斑的调制度，是表示光斑均匀度的一个指标，其值越小，代表输出光与目标光强的差距越小；${\rm{PSNR}}$是衡量原图像与输出图像差距的指标，其值越大表示图像恢复效果越好；$ \eta $代表投影点的光能与整个信号窗口的光能的比值，$ \eta $越大代表噪声抑制地越好，投影点越清晰。三个评价函数分别表示如下：

式中：$ f\left( {m,n} \right) $代表目标光场的振幅分布；$ {f_D}\left( {m,n} \right) $代表输出光振幅分布；$ m $和$ n $代表水平和竖直方向上的采样点数。

式中：$ I\left( {m,n} \right) $代表目标光场的光强分布；$ {I_D}\left( {m,n} \right) $代表输出光光强分布；$ m $和$ n $代表水平和竖直方向上的采样点数。

式中：$ {I_{\left( {k,l} \right)}} $代表采样点的光场强度；$ {w_1} $代表投影点区域；$ {w_2} $代表补0后的整个信号窗口区域；$ k $和$ l $代表水平和竖直方向上的采样点数。

结构2中设置$ {w_0} = 2\;{\text{μm}} $，$ L = 500\;{\text{μm}} $，衍射全角、采样倍数、衍射距离、补0区域等与结构1相同，为了计算方便，设水平和竖直方向上的采样倍数相同，即$ M = N $，讨论采样倍数大小对输出光的影响，计算结果如图6所示。

Figure 6.  Comparison diagram of evaluation index under different sampling ratio

从图6中可以看出，结构1的最大光能利用率和结构2接近，而投影点均匀度明显不如结构2。结构2的采样倍数在3~11范围内时，随着采样倍数的增大，光能利用率$ \eta $越来越大，${\rm{MSE}}$值越小，${\rm{PSNR}}$值越大，由此确定采样倍数11×11是最佳采样倍数，此时$ \eta $约为76%。然而当采样倍数大于11×11时，$ \eta $反而会降低，${\rm{MSE}}$值增加，${\rm{PSNR}}$值减小，这是由于采样点数过多后，补0区域已不能对场内噪声进行有效抑制。

随后，设$ M = N = 11 $，$ L = 500\;{\text{μm}} $，讨论$ {w_0} $大小对结构2的输出光的影响。

从图7中可以看出，随着氧化孔径增大，$ \eta $和${\rm{PSNR}}$值逐渐增大，${\rm{MSE}}$值逐渐减小，表明对场内噪声抑制效果越来越好，光斑的均匀性越好，图像越来越清晰。这是由于随着氧化孔径的增大，高斯光束的瑞利距离也在增加。但随着氧化孔径的增大，VCSEL发出的光束会包含更多的高阶模式高斯光，不利于结构光的设计和应用。

Figure 7.  Evaluation index under different oxide apertures

设$ M = N = 11 $，$ {w_0} = 5\;{\text{μm}} $，讨论$ L $大小对结构2的输出光的影响。

从图8中可以看出，在衬底厚度小于400 μm时，光斑均匀性、信噪比、光能利用率都随着衬底厚度的增加而减小。当衬底厚度大于400 μm后，光斑均匀性、信噪比、光能利用率都随着衬底厚度的增加而增加，并且在厚度大于600 μm时各项指标都优于100 μm。但是在实际制造过程中，衬底过厚可能会吸收更多的激光，从而降低电光转换效率。

Figure 8.  Evaluation index under different thickness of substrate

综上，在底发射VCSEL衬底上设计DOE时，采样倍数、氧化孔径大小、衬底厚度会共同影响输出光的质量，必须综合这三个变量一起考虑才能获得最佳的结构光。因此，文中选取$ M = N = 11 $，$ {w_0} = 5\;{\text{μm}} $，$ L{\text{ = }}600\;{\text{μm}} $作为最佳设计参数。最后，利用光学软件Virtuallab Fusion模拟了结构2的出光效果，目标光场编码点设置为45×45（补0前为21×21），模拟结果如图9所示。从图9中可以看出，新型结构光投射装置能够发出清晰可辨且畸变较小的点阵结构光。

Figure 9.  Simulation results under the optimized design parameters

文中提出了一种新型片上点阵结构光投射装置设计方案，通过对光场中心零级衍射的进一步抑制，实现了在底发射VCSEL衬底上直接集成DOE元件，从而获得更加均匀分布的点阵结构光，同时得到了最优的结构设计参数。通过对比，验证了该结构与现有点阵光结构能达到相同的投影效果。该结构降低了现有点阵光投影系统复杂度，提高入射光利用率，为实现小尺寸、紧凑型的点阵结构光投影结构提供了一个新思路。下一步将完成该结构的制备以及投影效果的测试，该结构的制备难点在于DOE的中心需要与激光束的光轴重合以达到最佳的衍射效果，且该结构的制备对于刻蚀设备的精度要求较高。