Deep hole roundness measurement method of circular structured light system

具有大长径比的深孔，如枪管、气缸和流道孔，在工业中应用广泛。深孔加工系统由于长径比大、刚度差，加工过程极易发生径向颤振，对深孔的圆度造成不利影响^[1]。而圆度误差直接影响着产品的整体性能，例如降低发动机气缸的能量转换效率和冶金辊子的冷却性能^[2]。

圆度误差的测量可分为接触和非接触两种方式。接触测量方式通过记录探头与被测表面接触后产生的电信号变化来反馈采样点的空间位置，方便高精度地获取被测参数，如三坐标测量机和圆度仪，但价格较为昂贵且在测量过程中可能会损伤表面。随着光电^[3]、电磁、图像等技术的出现，非接触测量方法具有有效保护被测表面质量等优点，在形状误差测量领域不断得到应用，如基于电容法^[4]、超声波法^[5]、光纤强度法^[6]和激光三角法^[7]等单点扫描方式，但存在检测精度较低或测量范围有限的问题。Inari等^[8]提出了一种基于圆结构光的测量系统，该系统通过圆锥反射镜反射激光束产生圆结构光，利用激光三角测量和近景摄影测量算法计算三维坐标。这种测量系统由于其灵活性强、精度高、结构简单等优点，得到了研究者们的广泛研究。

基于圆结构光测量的原理，研究人员对结构和原理进行了改进。Zhuang B H等^[9]对检测器性能进行了理论分析，提高了系统分辨率。通过测量一个标准的环规来标定系统，这需要精确地对准探测器的轴，操作较为困难。Zhang G等^[10]开发了一种将激光与圆锥反射镜分离并从相反方向拉伸到管道中的系统，由于激光仅被玻璃管折射一次，有利于减小系统误差。朱烨等^[11-12]提出了一个具有四个自由度的激光平面数学模型和基于双目视觉的灵活激光平面标定技术，易于操作。

目前圆结构光系统在测量圆度时存在一定的系统误差：激光器、相机和待测深孔难以平行或同轴，无法准确测量圆截面。文中分析了系统误差的产生机理，基于圆结构光系统提出了一种准确测量深孔圆度的方法。该方法可对系统误差进行补偿，无需严格保持激光器、相机和待测深孔平行或同轴，并通过测量实验验证了其可行性。

如图1所示，圆结构光测量系统由激光器、CMOS相机、相机镜头和一维导轨组成。激光器发出圆锥形结构光与待测深孔的内表面相交形成光环，CMOS相机对内表面上的光环进行拍摄，再根据圆结构光的基本原理得到光环上每个点的三维坐标。

Figure 1.  Schematic diagram of point coordinate measurement of circular structured light system

将相机坐标系Oxyz设为世界坐标系，z轴方向为相机光轴方向，图像平面即z=f的平面，O₁(u₀,v₀)为光轴与图像平面的交点。采用如图2所示的小孔成像模型，则物点P(x,y,z)与像点p(u,v)的关系可表示为：

Figure 2.  Small hole imaging model

式中：s为比例因子，即物点在相机坐标系下的z坐标；f_x=f/dx为u轴焦距；f_y=f/dy为v轴焦距。${\boldsymbol{K}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{f_x}}&0&{{u_0}}&0 \\ 0&{{f_y}}&{{v_0}}&0 \\ 0&0&1&0 \end{array}} \right]$称为相机内参矩阵。

设(u,v)和(u_d,v_d)分别为理想像点和实际像点坐标，使用二阶径向畸变模型来描述：

式中：k₁和k₂为镜头的径向畸变参数。

圆结构光模型可以由空间的一般曲面方程来表示：

式中：a_i=(1, 2, ···, 9)是表征圆结构光空间位置和形状的参数。

公式(1)和公式(2)表示经过畸变修正的成像光线，与公式(3)交会计算即可得到内表面物点的三维坐标。

如图3所示，对于圆结构光系统，当激光器与待测内表面同轴时，测量的是理想截面。假设圆锥面的顶角为θ，距离中心的的误差量为Δh，误差角为φ。轴向左偏移量为$ \dfrac{{R + \Delta h}}{{\tan (\theta /2 - \varphi )}} - \dfrac{R}{{\tan (\theta /2)}} $，轴向右偏移量为$ \dfrac{R}{{\tan (\theta /2)}} - \dfrac{{R - \Delta h}}{{\tan (\theta /2 + \varphi )}} $。

Figure 3.  Schematic diagram of measurement error analysis of circular structured light systems

则轴向总偏移量为：

通过以上分析，圆结构光系统测量时同时受到平行度和同轴度的影响，容易产生误差。

针对2.2节中的系统误差，提出一种圆度测量方法进行一定补偿。

如图4(a)所示，利用电动直线滑台移动待测深孔零件完成全场测量。将电动直线滑台的移动方向表示为一个方向向量z_m=[m_x m_y m_z]^T，则被测深孔内表面上任一测量点的三维坐标[x_j y_j z_j]^T可由下式得到：

Figure 4.  Schematic diagram of circular structured light system roundness measurement. (a) Before rigid body transformation; (b) After rigid body transformation

式中：n表示被测深孔内表面被测界面的序号(从0开始)；D表示两个被测截面之间电动直线滑台移动的步距。

通过上述原理可得出深孔内表面的三维点云坐标，拟合求出内表面轴线的方向向量z_n，z轴的方向向量z=[0 0 1]^T，则两向量的旋转矩阵R_z可由罗德里格斯(Rodrigues)公式求得。将点云刚体变换到轴线与z轴平行的位置，可得：

对位置为z_j的截面进行圆度测量，则搜索z坐标为z_j±Δz(Δz较小)的测量点作为圆度评定点，如图4(b)所示。

根据圆度评定点坐标数据信息P(x_j,y_j)(j=1, 2, ···, n)，选用网格搜索算法评定其圆度^[13]。如图5所示，以最小二乘圆心O'(a,b)为中心构建正方形网格点。依次以网格点为圆心，计算各个测点坐标与圆心坐标的半径。依据最小区域法确定相对应的圆心坐标点，从而得到圆度误差。

Figure 5.  Schematic diagram of grid search algorithm

评定步骤如下：

1)根据测点坐标P(x_j,y_j) (j=1, 2, ···, n)求出最小二乘圆心坐标O'(a,b)；

2)以最小二乘圆心为中心构建正方形网格；

3)依次以网格点为圆心求最大半径R_max和最小半径R_min；

4)求得符合最小条件的圆度误差值f=min(R_max–R_min)。

文中采用文献[14]的方法进行系统标定。如图6所示，将一个平面靶标放置在激光器与工业相机之间，CMOS相机对平面靶标上形成的光环进行拍摄，移动靶标，拍摄4幅平面靶标处于不同位置的照片。通过张正友法进行相机标定，得到相机内部参数(u₀、v₀、f_x和f_y)以及镜头畸变参数(k₁和k₂)如表1所示，同时得到每个平板靶标的旋转矩阵R和平移向量t。

Figure 6.  Schematic diagram of system calibration

平面靶标上光条的物点记为M=[x y 1]^T，像点记为m=[u v]^T，相应的齐次坐标为$\tilde M$=[x y 1]^T和$\tilde m$=[u v 1]^T，两者的关系为：

式中：s为比例因子；H=K[r₁ r₂ t]=[h₁ h₂ h₃]。

由公式(7)可得：

转化到相机坐标系下：

将得到的圆结构光特征点进行最小二乘拟合，得到圆结构光参数a_i=(1, 2, ···, 9)。

通过上述方法对圆结构光系统进行标定，结果如表2和图7所示。

Figure 7.  Circular structure light fitting results

选定平面靶标的一个点为目标点，通过公式(6)得到目标点在相机坐标系下的坐标，目标点的移动轨迹反映了电动直线滑台的移动方向，标定结果为：

如图8所示，文中搭建的系统由650 nm激光器、海康的25 mm焦距镜头、海康的2 000万像素黑白CMOS工业相机和电动直线滑台组成，以内径23 mm的深孔零件作为测量对象。

Figure 8.  Roundness measurement experiment of circular structured light system

根据硬件选型给出圆结构光系统的测量范围：测量对象为通孔；内径范围为20~50 mm，根据镜头范围而定；测量深度为90 mm，取决于激光器的长度和电动直线滑台的行程，在激光器后加伸长杆可提高测量深度。

电动直线滑台以0.01 mm的步长对待测内表面进行扫描测量，到一定距离后停下。每一步拍摄一幅光环图像，拍摄的圆结构光图像如图9所示。

通过Steger算法^[15]提取图像光环的亚像素中心点，具体步骤如下：

1)通过Hessian矩阵获得光环的法线方向；

2)在法线方向上对像素灰度应用泰勒多项式展开，得到灰度分布函数；

3)对该法线方向上的灰度分布函数的二阶泰勒多项式求取极值，得到中心点坐标。

图10所示为图9的提取结果。

Figure 9.  Images of the halo taken during the experiment

Figure 10.  Results of halo center point extraction

根据上文介绍的测量算法，最终得到的待测内表面高分辨率三维点云如图11所示。

Figure 11.  3D point cloud of the inner surface to be measured

选取等间隔的5个截面，将补偿前的结果作为初始值，经过圆度测量方法补偿的结果作为测量值（图12），由FARO型三坐标测量机获得参考值，其单点测量精度为2 μm，均基于第2.2节的网格搜索算法进行评定，评定结果见表3。

Figure 12.  Roundness assessment points for 5 sections

对补偿前的测量系统进行不确定度分析：

1)测量系统对同一截面重复测量5次，结果如表4所示，不确定分量u₁=1.14$ \sqrt {\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{{({x_i} - \bar x)}^2}/n(n - 1)} } $=0.1885 µm。

2)三坐标测量机的单点测量精度为2 μm，不确定度分量$u_2=2 / \sqrt{3}= $=1.1547 µm。

3)测量系统的测量值与三坐标测量机的参考值进行对比，不确定度分量u₃=29.12 µm。

最终得到圆度误差的不确定度为u = $ \sqrt {{u_1}^2 + {u_2}^2 + {u_3}^2} $=29.14 μm。

对补偿后的测量系统进行不确定度分析：

1)测量系统对同一截面重复测量5次，结果如表5所示，不确定分量u₁=1.14$ \sqrt {\sum\limits_{i = 1}^n {{{({x_i} - \bar x)}^2}/n(n - 1)} } $=0.4032 µm。

2)三坐标测量机的单点测量精度为2 μm，不确定度分量$u_2=2 / \sqrt{3}= $=1.1547 µm。

3)测量系统的测量值与三坐标测量机的参考值进行对比，不确定度分量u₃=4.62 µm。

最终得到圆度误差的不确定度为u=$ \sqrt {{u_1}^2 + {u_2}^2 + {u_3}^2} $=4.78 μm。

结果表明，经过圆度测量方法补偿后的系统测量不确定度比补偿前得到了较大的提升，说明该方法具有可行性。

文中研究搭建了圆结构光三维测量系统，对圆结构光系统测量圆度时的系统误差进行了分析，并提出了一种准确测量圆度的方法对系统误差进行补偿。通过测量实验验证了该方法测量圆度具有良好的补偿效果，其中测量不确定度为4.78 µm。