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回顾光学史，从早期的时域强度（振幅）到近代光学的频率（波长）、相位、偏振等信息[1-3]，人们对光的认识、研究、开发通常都发端于、也依赖于对物理自由度的探索。近年来，随着研究人员对于光的空间结构的理解不断加深、控制能力不断提高，具有特殊振幅、相位和偏振分布的空间结构光场（如图1所示）受到学术界的广泛关注[4-5]。1992年，Allen等人指出光场的螺旋相位 (Spiral phase) 结构与光子的光学轨道角动量 (Orbital angular momentum, OAM) 有关，当光场相位含有可表示为
$\exp \left(i l_{1} \varphi\right)$ 的螺旋相位因子时，光场内每个光子的OAM为$l\hbar $ ，其中$\varphi $ 为空间方位角[6-9]。这一发现引发了结构光领域的研究热潮。具有特定强度、相位和偏振分布的结构光场被广泛应用于光通信、光学探测、显微成像、量子纠缠、材料加工等领域[9-11]。特别地，OAM提供了一个新的高维可调谐自由度，对经典和量子通信技术的进一步发展具有重要意义[12-15]。OAM模式的空间正交性使得共轴传播的不同模式原则上可以被解复用，因此，基于光场空间模式的模分复用技术（Mode division multiplexing，MDM）或高维空间模式编码都可以与现有的波分复用技术（WDM）、时分复用技术相兼容，提高量子通信和经典通信的数据传输速率[10, 16-18]。
图 1 典型光学自由度与典型结构光场
Figure 1. Typical degrees of freedom in optics and typical structured light fields
涡旋光束的产生方法和探测手段是涡旋光束应用开发和技术突破的关键[19-20]。涡旋光产生方面，有谐振腔调控、数字化定制和超构表面调制等方法[21-25]，涡旋场的研究对象也突破了光学涡旋范畴，迅速拓展至电子涡旋、太赫兹涡旋、声学涡旋等领域[18, 26-30]。涡旋光探测方面，结构光的识别和分类仍是一个很大的挑战。目前常用方法有干涉、衍射、模式投影测量等技术，探测手段逐渐向高效、集成化方向发展[31-37]。利用涡旋光特殊的相位分布，可通过孔径衍射和光束干涉的方法测量光束拓扑荷，具体的方案包括三角孔径衍射、圆形孔径衍射、椭圆形孔径衍射、同轴干涉和离轴干涉等[23, 38-40]。根据此类方法得到的远场衍射光斑阵列和干涉条纹，可以判断涡旋光OAM的大小和正负，但仅适用于探测具有单一OAM的光束，无法应用于多个OAM模式叠加的光束，也无法实现灵活、高精度的测量[34-35]。光场空间模式的探测可视为模式产生的逆过程，因此相位调制器件可以通过显示共轭全息图来检测空间模式，被称为投影测量[41-43]。例如，对于入射的OAM模式
$\exp \left(i l_{1} \varphi\right)$ ，当空间光调制器（Spatial light modulator, SLM）加载的全息图对光场施加$\exp \left(-i l_{2} \varphi\right)$ 的相位调制时，输出的OAM模式为$\exp \left[i\left(l_{1}-l_{2}\right) \varphi\right]$ 。若满足$l_{1}=l_{2}$ ，螺旋相位结构会被抵消，因此光束可以被耦合进入单模光纤中[44]。尽管投影测量的操作过程简单，但对于N维希尔伯特空间而言，该方法的检测效率在机理上被限定为$1/N$ [45]。与之相比，基于几何坐标变换原理的OAM模式分类器可以并行、无能量损耗地对OAM模式进行空间分离的投影测量[46-47]。近年来，涡旋光的几何坐标变换技术作为新兴的涡旋光探测方法，展现出器件无源、无能量损耗、结构紧凑、价格低廉等诸多优点，成为涡旋光的空间分离和解复用的高效有力工具，为涡旋光的识别和应用提供了全新的研究平台，具有广阔的发展前景。文中围绕这一主题，详细介绍涡旋光的几何坐标变换及其应用技术的基本原理、技术路径和优势特点。
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与引言中介绍的OAM共轭调制投影等经典OAM探测技术相比，涡旋光几何坐标变换的最大特点是可实现无能量损耗的模式空间分离输出。以偏振自由度为例，对无能量损耗模式分离原理进行类比的阐释。当光子通过一个特定的偏振片进行投影测量时，偏振片在透射特定偏振态光子的同时吸收与之正交的偏振态的光子，即光场损失了部分能量。相比之下，偏振分光棱镜可以将不同偏振态的光子无损地分离，使其从不同方向输出，此时光场的总能量不变。同理，对于叠加的OAM模式，使用共轭调制投影测量一个OAM分量，其他OAM分量将会被吸收而产生较大的能量损耗。涡旋光几何坐标变换的目标就是通过衍射光学元件的设计，使得所有OAM分量可以在空间上实现无能量损耗的分离。
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涡旋光具有螺旋相位结构
$\exp (i l \varphi)$ ，该螺旋相位在空间中表现为角向相位梯度，梯度大小与OAM的拓扑荷（Topological charge）l成正比，拓扑荷越大，意味着围绕奇点一周的相位变化范围越大。由于拓扑荷为分立整数，因此具有不同OAM的涡旋光场的角向相位梯度也为分立值（尽管已有分数阶OAM涡旋光场的研究，文中仅讨论整数阶OAM光场的模式解复用技术）。然而，具有角向分立相位梯度的OAM光束很难直接实现空间上的分离。研究思路是将其转化为具有分立横向相位梯度的光场，后者的不同相位梯度代表不同空间角谱成分，通过简单透镜聚焦即可实现空间分离。2010年，Berkhout等人提出了一种基于计算全息的坐标变换方法[46]，通过直角坐标与对数-极坐标的转换（Log-polar coordinate transformation）实现OAM模式无损分离[48]。该技术将OAM模式的角向相位映射为一个倾斜的平面波前，倾斜波前的横向相位梯度与OAM的拓扑荷成正比。通过该变换，不同OAM态的线性叠加光束被转化为一组具有不同横向相位梯度的平面波，各横向相位梯度携带的空间频谱成分各异。因此，不同的OAM成分可以通过放置于远场的透镜聚焦，实现空间位置上的分离，具体实现如图2（a）所示。
图 2 利用对数-极坐标映射变换实现模式分离的原理。(a) 光束几何坐标变换过程中的强度和相位分布[46]；(b) 对数-极坐标映射实现模式分离复用的光束演化过程（左侧输入右侧输出：多路复用；右侧输入左侧输出：多路解复用）[49]；(c) 对数-极坐标变换实现具有径向相位梯度的涡旋光场的二维位置分离[50]
Figure 2. Principle of mode sorter using log-polar mapping. (a) Intensity and phase distribution during the geometric coordinate transformation of the beam[46]; (b) Beam evolution of mode sorter by log-polar mapping （From left to right: multiplexing; From right to left: demultiplexing)[49]; (c) Log-polar transformation to achieve two-dimensional spatial separation for the OAM beams with radial varying phase[50]
该方法的关键步骤是将输入光束中的不同OAM分量转换为输出光束中的不同横向位置，即螺旋相位梯度转换为横向相位梯度。这相当于将包含同心圆的输入图像转换为平行线的输出图像。每个输入的同心圆被映射到对应的输出线上，给出光线方向所需的偏差，从而得到转换光学元件的相位轮廓。然而，由此产生的光程长度的变化表明转换过程中存在相位失真现象，需要引入一个相位元件进行相位校正。因此，转换系统包含两个定制光学元件：第一个用于变换图像，第二个用于校正相位畸变（放置于第一个光学元件的傅里叶平面处），分别被称为展开器（Un-wrapper）和相位校正器（Phase-corrector），其中展开器用于将光束展开，实现直角坐标(x, y)与对数-极坐标(u, v)的映射，相位矫正器对展开过程中引入的相位偏差进行校正。直角坐标(x, y)与对数-极坐标(u, v)的映射关系为：
$$\begin{array}{l} u = - a\ln \left( {{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt {{x^2} + {y^2}} } b}} \right. } b}} \right) \\ v = a\arctan \left( {{y \mathord{\left/ {\vphantom {y x}} \right. } x}} \right) \\ \end{array} $$ (1) 展开器的相位函数可表示为：
$${\phi _1}\left( {x, y} \right) = \frac{{2\pi a}}{{\lambda f}}\left[ {y\arctan \left( {\frac{y}{x}} \right) - x\ln \left( {\sqrt {\frac{{{x^2}{\rm{ + }}{y^2}}}{b}} } \right) + x} \right]$$ (2) 其中，两个自由参数a和b分别决定了展开器调制后的光束形状和位置。参数a取值为L/2π，以确保方位角(0, 2π)的范围映射到相位校正器长度L的空间上。参数b对模式分类器的特定物理尺寸进行优化，并可独立调节。相位校正器位于展开器后透镜f1的焦面处，其相位函数可表示为：
$$\begin{split} {\phi _2}\left( {u, v} \right) = - \frac{{2\pi ab}}{{\lambda {f_1}}}\exp \left( { - \frac{u}{a}} \right)\cos \left( {\frac{v}{a}} \right) \end{split}$$ (3) 相位校正器之后放置焦距为f2的透镜，以便将变换后光束的不同OAM分量聚焦到指定横向位置，位置相对坐标与各OAM分量的拓扑荷l成正比：
$$\Delta {s_L} = \frac{{{f_2}\lambda }}{{2\pi a}}l$$ (4) 以上空间多路解复用的过程如图2（b）所示，其中聚焦透镜的相位调制作用（二次相位因子）可进一步集成在相位校正器元件中。值得注意的是，空间解复用的逆过程可将不同横向位置入射的光斑转化为叠加的OAM光束，即空间多路模式复用[49]。此外，对数-极坐标映射方案除了将角向相位梯度转化为横向相位梯度外，还可以将径向相位梯度转化为纵向相位梯度，具有不同径向相位梯度的光场经过变换聚焦后可实现纵向分离[50-51]，如图2（c）所示。因此，对数-极坐标变换可以实现具有不同角向、径向相位梯度光场的空间二维分离。基于上述原理制成的OAM模式解复用器件，在空间分辨率与紧凑性提升上开展了多项研究，将在下一节介绍。
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对数-极坐标变换实现模式分离需要两个相位元件，这两个元件的对准要求十分严格。在实验过程中，为了简化两个相位元件的对准过程，提高光学体系结构的紧凑性和小型化水平，研究人员在器件集成、设计优化和采用新型材料等方面开展了深入而系统的研究[52-55]，研制的紧凑、高效率模块有望集成到下一代通信应用的OAM模式处理平台中。
2017年，Ruffato等人提出了一种基于对数-极坐标变换的紧凑OAM模式分类器方案[52]，巧妙地将展开器与相位校正器的功能集成在一个相位掩模上。由于对数-极坐标变换中的相位展开器和相位矫正器分别使用相位衍射元件的边缘和中心区域，因此可以将二者结合起来，设计一个边缘为环状展开器、中心为相位矫正器的集成元件，如图3（a）所示。其中展开器与相位校正器同时集成了二次相位因子，可以直接实现光束的傅里叶变换，只需将平面反射镜放置于半焦距处即可将展开后的光束反射至相位校正器区域。该方案将相位元件合二为一，提高了OAM模式解复用器的紧凑性，简化了对准操作。
图 3 紧凑集成化几何坐标变换器件。(a) 基于光学变换的紧凑OAM模式解复用衍射光学元件的设计、工作原理，展开器和校正器元件集成于一个玻璃基板[52]；(b) 非傍轴型OAM模式分类器[53]；(c) 3D激光直写制备的集成模式分类器的扫描电子显微镜照片[54]
Figure 3. Compact integrated geometric coordinate transformation device. (a) Design and working principle of the compact OAM mode decomposition multiplexing diffracted optical elements based on optical transformation, with the expander and rectifier elements integrated on one glass substrate[52]; (b) Non-paraxial OAM mode sorter[53]; (c) SEM picture of the combined mode sorter fabricated by 3D laser printing[54]
然而，在上述方案中，入射光束和出射光束共轴存在光斑较难分离的问题。2019年，Ruffato等人提出了一种非傍轴状态下的对数-极坐标变换方法，并用于设计新型的解复用模式分类器[53]。该方法取代了传统的近轴近似方法，可以将全部光学元件集成于一个紧凑平台上。装置如图3（b）所示，通过直接光学镀膜避免了反射镜的使用，整个光束的分离过程在数毫米尺寸的石英薄片中完成。该方法显著提高了OAM模式解复用器的集成水平，并与量产技术兼容，为下一代紧凑OAM解复用模式器提供了可行方案。
在基于对数-极坐标变换的模式分类器制作工艺方面，Lightman等人采用了一种利用三维激光直写（3D-DLW）系统制作OAM光束解复用器的新方法[54]。DLW方法可以在光纤尖端、自由空间或直接在非线性晶体表面制作微光学元件[56]。该工作演示了两个分立微米级器件构成的多路解复用器，并进一步通过3D-DLW方法制造了紧凑的集成OAM多路解复用器（图3（c）右侧子图），其中两个元件的距离和相对位置在制造过程中已经确定，展现了3D-DLW技术相较于其他制备技术[57-58]的独特优势。该工作为光通信系统、量子光学、非线性光学等集成光学设备的研制提供了新的可能。
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模式解复用是利用OAM模式空间正交性的光复用系统的一个基本功能。对数-极坐标变换提供了一种简单而有效的方法，然而它的分辨率受到了相邻模式重叠的限制，这是因为围绕光涡旋轴的一个完整圆的相位偏移有限[59-60]。数学上，对于一个具有拓扑荷l的输入OAM模式，围绕光轴的横向完整圆的相位偏移2
πl被转换为一个对应的沿输出平面的线段偏移。聚焦后，光场振幅的横截面在傅里叶平面上的横截面呈现为一个sinc函数，从中心移出的波数与l成正比。傅里叶分析表明，拓扑荷为l的OAM光场对应的傅里叶平面sinc函数的中心位置为kl = l/β，其宽度为2/β（定义为与中央主极大相邻的两个零点的间距）。因此，具有拓扑荷l和l+1的两个相邻OAM的峰值相隔为1/β，仅为sinc函数宽度的一半，导致它们之间有明显的功率重叠，从而限制了分辨率，这是该方法的固有局限性。如图4（a）所示，两个相邻OAM模式经转换所产生的平面被聚焦后形成的两个光斑有相互重叠的区域，强度重叠部分约为20%。放大平面波会导致其波前的倾斜角减少，使得这个平面波可以被聚焦至更窄的光点，但光点之间的距离也会相应减少，因此它们之间的重叠程度保持不变，如图4（b）所示。 根据以上分析可知，光斑之间的重叠在本质上是由于邻近的OAM光束展开之后倾斜光场的角谱间隔相对于光斑的空间频谱范围较小所导致的。解决方案即增大邻近OAM光束的角谱间隔或减小单个光斑的空间频谱范围。当直接改变光斑宽度时，虽然聚焦光斑会更窄，但角谱间隔也会变小，导致光斑重叠程度不变。为了在光斑相位梯度不变的情况下实现光斑展宽，研究人员发明了模式复制拼接和OAM光束螺旋变换两种方法[31, 47]。
2013年，Mirhosseini等人在对数-极坐标变换的基础上提出了“模式复制”方法，以提高OAM模式分类器的分辨率[31]。该方法的工作原理是将每个OAM模式映射到倾斜的平面波阵的多个副本。此时转换后的光束宽度增加，而相位梯度保持不变。相邻的截断平面波之间的周期性相位跳跃等于2π的整数倍，所以产生的光束具有平滑的波面。转换后的模式被聚焦到一系列点上，实现了分离后的光斑间距不变、但宽度窄得多的分离效果。图5（a）展示了实验装置，其中在相位展开器和相位矫正器之后增加了一个扇出元件（具有周期性相位的全息图），以复制多个展开后的OAM模式。这种装置的相位结构可以表示为：
图 5 高分辨率分离方案的示意图
Figure 5. Schematic diagram of high-resolution mode sorter
$${\varPsi _{2N + 1}}\left( x \right) = {\arctan}\left( {\frac{{\displaystyle\sum\limits_{m = - N}^N {{\gamma _m}\sin \left[ {\left( {2\pi s/\lambda } \right)mx + {\alpha _m}} \right]} }}{{\displaystyle\sum\limits_{m = - N}^N {{\gamma _m}\cos \left[ {\left( {2\pi s/\lambda } \right)mx + {\alpha _m}} \right]} }}} \right)$$ (5) 式中：2N+1为光束的复制数；s为各光束的角度间隔；x为沿复制方向的横向尺寸；γm和αm为与不同衍射阶数相关的相对相位和强度参数。这些参数可以用数值或分析方法进行优化，使99%的入射光均匀地分布在“复制”模式之间。
Ruffato等人为了在模式复制方案中简化对准过程，设计了一种对数-极坐标变换和扇出集成方法[59]。该方案中，扇出功能被整合到光束展开器件中，OAM光束被展开的同时被复制成多份，如图5（c）所示。集成的关键在于OAM光束有一个围绕中心奇点的“甜甜圈”式强度分布。由于光学元件主要作用于非零输入场的区域，所以第一次坐标转换时光学元件的内部区域未被利用。因此，可以选择这个中心区域来集成第二个元件（相位校正器）。在这种新颖的结构中，光学元件被照亮两次：穿过外部展开器后，光束被一个镜子反向，进入作为相位校正器的内部中心区域。这个双相位校正器同时执行对数-极坐标的光学变换和扇出过程的校正。
除模式复制方案外，Wen等人在2018年提出了一种新的几何坐标变换方案，对OAM光束进行螺旋变换，将采集到的螺旋线转换为平行线，如图5（b）所示[47]。由于光学涡旋的波前沿着螺旋线的相位变化在理论上是无限的，这种新的光学变换可以在保持统一效率的同时，以更高的分辨率分离OAM模式。与对数-极坐标变换方法相比，螺旋变换方案在相位梯度不变的情况下可以得到一个展宽n倍的光斑，其中被展开的螺旋匝数n只受限于输入OAM模式的波束宽度。扩展的输出波前在傅里叶平面上仍被映射为一个具有相同位移的sinc函数，拓扑荷为l的OAM光场对应的sinc函数的中心位置仍然是kl =l/β，但其宽度2/(nβ)与匝数成反比，意味着相邻OAM模式之间的重叠比例明显降低。
值得注意的是，与对数-极坐标变换相比，实现螺旋变换一般需要更高空间分辨率的相位调制，而且要求分辨率大致与螺旋匝数成正比，然而，在实践中仍然可以通过商用型SLM或其他定制的相位元件轻松实现。图5（d）展示了一种片上集成设计的螺旋变换OAM模式解复用器[60]。
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尽管模式解复用方案在紧凑性、高分辨率等方面有了很大的改善，然而其模式容量有限，上述方案报道的解复用OAM模式数量为几个或数十个。进一步提高参与解复用过程的OAM模式数量，对于大容量光通信等领域具有重要意义。研究人员提出了一种多平面光转换器（Multi-Plane Light Conversion, MPLC）方案，可实现数百个OAM模式的空间解复用。MPLC指一组以一定距离依次连接的定制相位调制板，可用于模拟一般的幺正变换[61]。由于MPLC的模式容量大，研究人员将其应用于涡旋光场的复用与解复用技术。类似于棱镜将入射复色光在空间上进行光谱展开，Fontaine等人在2019年仅利用七个相位板就实现了325个拉盖尔-高斯（Laguerre-Gaussian，LG）模式的空间分离，而且系统仅由一个SLM和一面反射镜组成，装置非常紧凑[62]，如图6（a）所示。之后，研究人员结合粒子群算法优化了MPLC的设计步骤，成功获得了高效率的涡旋光复用器件[63]。上述反射型的OAM模式分类器因为需要光束倾斜入射，常常会引入误差，而且稳定性较差。针对该问题，Lin等人在2020年报道了两个玻璃平板上加工形成的透射型MPLC，能够高效、稳定地实现OAM光束的解复用过程[64]，如图6（b）所示。这种透射型的MPLC也被用于光纤模式的复用转换[65]。此外，近年来倍受关注的衍射光神经网络也被用于实现涡旋光的分类。衍射光网络的每一层都可认为是一个相位调制平板，2019年，Zhao等人利用三层光网络实现了拓扑荷1~10的探测[66]；2021年，Huang等人采用复振幅调制的五层光网络实现了涡旋光束的全光处理，如图6（c）所示，包括复用涡旋光的产生、探测、转换等，而且理论设计了以此为基础的涡旋光键控、复用、解复用装置[67]，为结构光场的信号处理带来了新的思路。
图 6 多平面几何坐标变换。（a）基于MPLC的LG模式分类器，直角坐标系某位置处的高斯光束经过MPLC后，转换为对应阶数的LG模式[62]；（b）加工的透射型MPLC器件，可将不同拓扑荷的LG模式转换为不同位置处的高斯光[64]；（c）基于光衍射神经网络的涡旋光转换器[67]
Figure 6. Multi-plane light conversion. (a) LG mode classifier based on MPLC. Gaussian beam at a certain position in Cartesian coordinate system is converted to LG mode of corresponding order after passing through MPLC[62]; (b) Fabricated transmissive MPLC device, which generates Gaussian spots at different positions from incident LG modes of different topological charge[64]; (c) Optical vortex converter based on optical diffraction neural network[67]
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近年来，涡旋光几何坐标变换技术在器件紧凑性、分辨率与OAM容量等方面的显著提升，进一步丰富和拓展了该技术在模态密度测量、光计算、光通信及量子纠缠等领域的应用空间。
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准确测量复杂涡旋光束中的OAM成分（OAM谱）是一个重要的科学课题。传统方法中，OAM谱可以通过特殊衍射光学元件来确定，然而这种方式每次只能测定一个具有特定OAM谱的涡旋光束[12]。更复杂的衍射光学元件可用于同时测量多个OAM态，但效率有限[68-69]。马赫-曾德尔干涉仪网络也可用于分离识别多个OAM态，原则上效率为100%，但需要N-1级联干涉仪来确定N个模态，而且使用多个级联干涉仪在排列上有许多困难，限制了该技术的推广[32]。光学几何坐标变换技术能够有效地对大OAM容量光束进行空间分离与分析，是一种并行检测各种OAM态光束的高效技术途径[70-72]。
以OAM模式（LG模）作为正交基底，任何光束的空间分布都可以表示为：
$$\left| \psi \right\rangle = \sum\limits_{l = - \infty }^{ + \infty } {\sum\limits_{p = 0}^{ + \infty } {\left| {lp} \right\rangle \left\langle {{lp}} \mathrel{\left | {\vphantom {{lp} \psi }} \right. } {\psi } \right\rangle } } $$ (6) 式中：|lp〉表示径向指数为p、拓扑荷为l的LG模。分量|lp〉的功率为该分量系数的模的平方，即为该成分的系数：
$${P_{l, p}} = {\left| {\left\langle {{lp}} \mathrel{\left | {\vphantom {{lp} \psi }} \right. } {\psi } \right\rangle } \right|^2}$$ (7) 待测量的OAM谱可表示为：
$${P_l} = \sum\limits_{p = 0}^{ + \infty } {{P_{l, p}}} = \sum\limits_{p = 0}^{ + \infty } {{{\left| {\left\langle {{lp}} \mathrel{\left | {\vphantom {{lp} \psi }} \right. } {\psi } \right\rangle } \right|}^2}} $$ (8) 利用光学几何坐标变换方案[70]将角向相位梯度转换为横向相位梯度，使透镜能够在空间中区分这些线性状态。模态密度测量的实验装置如图7（a）所示，SLM1用于产生LG模式，SLM2和SLM3作为转换和相位校正的光学元件，L1是傅里叶变换透镜，L2用于聚焦变换后的光束。
图 7 几何坐标变换用于模态密度测量
Figure 7. Geometric transformations for modal density measurement
在高维量子纠缠中，OAM模式是高维离散的基矢量，对其进行直接测量具有重要意义。与光子的横向位置和动量关系类似，任何OAM基态 |l〉相对于任何角位置基态 |θ〉都是无偏的，光子的角向位置和OAM形成了一个离散的傅里叶共轭对。因此，利用光学几何坐标变换可以将角向位置-动量的测量转换为横向位置-动量的测量。2014年，Malik等人设计了一个直接测量高维态矢量的实验系统[71]，如图7（b）所示，其中状态准备模块采用SLM1对氦氖激光器产生并经过衰减、空间滤波的光子施加相位信息，构建任意叠加的OAM模式的量子态；弱测量模块通过旋转一个特定OAM模式的偏振态而将其投影；读出模块通过测量光子偏振态在线偏振和圆偏振基础上的变化得到OAM谱。
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在利用OAM空间进行高维量子信息编码和模分复用光通信等方面，OAM的加倍和分解是重要一环[73-75]。基于几何坐标变换实现高阶OAM模式的乘除器可以应用于OAM光信息处理以及光通信中的光路由/交换器。
2017年，Zhou等人报道了一种按比例分解光束的OAM的被动方案。该装置由对数-极坐标转换器和逆转换器组成[76]，如图8（a）所示。转换器的构成与对数-极坐标变换的展开器和相位校正器完全相同，功能是将OAM光转换成一个具有横向相位梯度的长方形平面光，逆转换器可按任意比例分割对数-极坐标变换得到的长方形平面光，并将分割后的平面光转换为多重衍射光，每级衍射光之间相互分离，各部分平面光再经过展开器逆变换即可实现OAM光的任意分解。同年，基于对数-极坐标变换的OAM加倍器也被报道，OAM光束拓扑荷与n的乘积可通过两步坐标变换实现：（1）将“甜甜圈”形状展开为矩形的n个副本；（2）将矩形的每个副本转换为夹角2π/2n的圆弧形状，并将所有圆弧形状再重新组合成“甜甜圈”形状，即可实现OAM光束拓扑荷的整数倍增。以上两个步骤都需要相位校正模式[77]。
2019年，Romanato等人提出了一种利用两个光学元件有效地加倍和分解光束OAM的方法[73, 78]。该方法的关键是通过一个光学衍射元件获得多个副本的同时实现光学几何坐标变换。这里的几何坐标变换将这些副本转换为互补的圆环扇形区域，并在相位校正平面重新组合成完整的圆环状，从而实现了光束的OAM倍增，增加的倍数由获得的副本数决定，如图8（c）所示。相反，通过逆变换将输入光束的圆环拆分为两个互补扇形相位梯度，两个扇形区衍射到不同的方向，分别在相位校正平面重新转换为独立圆环，从而实现初始OAM的分解。该方法使用的相位衍射元件通过高分辨率电子束光刻获得。实验结果证实了乘法器实现OAM整数乘法的能力，而设计的除法器被证明能够正确地将输入光束分解成两个拓扑荷相同的OAM光束。
2020年，Wen等人提出了一种新的光学变换方案，将涡旋光场OAM乘以或除以任意有理因子[75]，如图8（d）所示。该方法的关键思想是：光涡旋横向平面的螺旋提供了一种扩展的相位偏移，这种相位偏移可以在方位角方向上被压缩或解压，只需进行一次变换就可以得到相应比例的OAM输出状态。该方案简单易行，因其仅涉及具有两相掩模的单一变换阶段。此外，相同的设置可以进行任何有理数因子的OAM乘法和除法，与此前使用不同技术进行OAM整数值的乘法、除法相比有较大改进。
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在经典和量子光子信息系统中，光波/光子的振幅、时间、波长/频率、相位、偏振/自旋等参数维度几乎都已被充分利用。为了进一步提高系统性能，可将涡旋光携带的OAM作为新的模态参数维度。为此，必须有一对可以实现OAM模式复用和解复用的光学元件，上文中介绍的基于光学几何坐标变换OAM模式分类器能够有效执行OAM解复用和复用的功能。
经典光通信应用中，Wen 等人使用基于几何坐标变换的OAM模式复用/解复用器，在2020年实现了环芯光纤中7个同轴OAM模式与单模光纤阵列中7个线性位移的高斯模式的双向转换[79]，并首次在长度50 km的OAM光纤通信链路上实现了高光谱效率的大容量数据传输，其中多维多路复用方案采用8个轨道-自旋涡旋模式信道，每个模式信道同时承载10个波分复用信道，通信系统及OAM解复用器如图9（a）所示。该工作展示了基于空间几何坐标变换的OAM模式复用/解复用器的优异性能，以及未来实现基于该器件的多维多路OAM光纤系统的可能。
图 9 经典和量子通信用几何坐标变换。（a）经典OAM-MDM-WDM光通信系统及螺旋变换原理示意图[79]；（b）高维度路径纠缠向OAM纠缠的转移[80]
Figure 9. Geometric transformation for classical and quantum optical communication. (a) Schematic diagram of classical OAM-MDM-WDM optical communication system and spiral coordinate transformation principle[79]; (b) High dimensional entanglement transfer from path to OAM degree of freedom[80]
量子光通信应用中，在光子芯片上实现光子路径纠缠是最自然的量子信息编码方式。为了使高维量子态在长距离上分布，OAM光束可以作为中间载体。Fickler等人在非线性晶体中建立了两个光子之间的三维路径纠缠，并利用基于空间几何坐标变换的模式解复用器作为量子界面，将纠缠转移至OAM自由度[80]，如图9（b）所示。在接收端可以通过一个解复用器重新将纠缠转移回光子路径的自由度。该工作提出了一种通过几何坐标变换灵活创建高维空间模式纠缠的方法，为实现大规模的复杂量子网络奠定了基础。
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涡旋光束的OAM自由度具有空间离散性和高维度两大特征，为经典光通信和量子信息系统提供了更丰富的信息通道。文中介绍了涡旋光的几何坐标变换及其应用技术的基本原理、技术路径、发展现状与优势特点，阐述了涡旋光几何坐标变换技术在器件紧凑性、空间分辨率、OAM容量等方面取得的研究成果，梳理了该技术在模态密度测量、光计算、光通信及量子纠缠等领域的应用进展。
几何坐标变换技术在多个领域的应用上已崭露头角，但仍有广阔的发展空间等待进一步探索、挖掘。模式解复用方面，光学几何坐标变换原理可以推广至其他波段，例如微波、毫米波和太赫兹波通信应用[33]。OAM自由度之外，几何坐标变换原理也可以结合光子的自旋解耦合技术，进一步实现更高维度的模式解复用技术[81-82]。光通信方面，利用光学几何坐标变换原理设计的编解码技术可有效降低信道串扰，在大容量、高保真度光通信领域大有作为[83]。此外，光学几何坐标变换原理与深度学习等计算机技术的融合有望实现超高容量OAM信息处理技术的新突破[14, 33]。
Research progress on technologies and applications of geometric coordinate transformation of vortex beam (Invited)
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摘要: 涡旋光场因其具有光学轨道角动量（Orbital angular momentum, OAM）而倍受关注。OAM这一独特物理特征赋予了涡旋光场一个无限高维的空间自由度，同时也引发了光场奇特的干涉、衍射、传输等性质。OAM识别和探测技术的发展是涡旋光从基础研究走向应用的关键。文中聚焦于OAM探测领域的一个重点研究方向——涡旋光几何坐标变换技术。详细介绍了该技术的基本原理、优势特点、研究进展和应用情况。涡旋光几何坐标变换是指通过特殊的调制相位设计，使涡旋光束的空间几何结构发生特殊的变化，从而可通过简单透镜聚焦等方法实现OAM模式的识别、分选等。相较于传统的涡旋光识别和探测技术，涡旋光的几何坐标变换这一新兴技术具有器件无源、无能量损耗、结构紧凑、价格低廉等突出优势，成为涡旋光的空间分离和解复用的高效有力工具，为涡旋光束在经典/量子态密度测量、OAM乘除法器、经典光通信和量子纠缠等前沿应用提供了全新的研究平台，蕴含巨大的发展潜力，具有广阔的发展空间。Abstract: Vortex light fields have attracted much attention, due to their nature of optical orbital angular momentum (OAM). The unique physical characteristics of OAM endow the vortex beam with an infinite degree of freedom in high-dimensional space, and at the same time, it also brings the unusual properties of interference, diffraction and transmission to the light field. OAM identification and detection technologies are critical to development of vortex beam from fundamental research towards practical applications. The paper focused on the geometric coordinate transformation of vortex beam, as one of important research directions in the domain of OAM detection, and reviewed the technology in detail in terms of its principles, features, research progresses and applications. Geometric coordinate transformation of vortex beam refered to transforming the whole geometric structure of vortex beam by a specialized modulation phase design, which could sort and detect OAM of vortex beam easily. Compared with traditional sorting and detecting technologies, the geometric coordinate transformation technology was favored with the advantages of passive device, no energy loss, compact structure and low cost. This unique method had become an efficient and powerful tool for the spatial separation and demultiplexing of vortex beams, and had provided a new platform for advanced applications such as classical or quantum density measurement, OAM multiplier and divider, classical optical communication and quantum entanglement, showing great potentials and broad development prospect.
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Key words:
- vortex beams /
- geometric coordinate transformation /
- OAM demultiplexing /
- mode sorting
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图 1 典型光学自由度与典型结构光场
Figure 1. Typical degrees of freedom in optics and typical structured light fields
图 2 利用对数-极坐标映射变换实现模式分离的原理。(a) 光束几何坐标变换过程中的强度和相位分布[46]；(b) 对数-极坐标映射实现模式分离复用的光束演化过程（左侧输入右侧输出：多路复用；右侧输入左侧输出：多路解复用）[49]；(c) 对数-极坐标变换实现具有径向相位梯度的涡旋光场的二维位置分离[50]
Figure 2. Principle of mode sorter using log-polar mapping. (a) Intensity and phase distribution during the geometric coordinate transformation of the beam[46]; (b) Beam evolution of mode sorter by log-polar mapping （From left to right: multiplexing; From right to left: demultiplexing)[49]; (c) Log-polar transformation to achieve two-dimensional spatial separation for the OAM beams with radial varying phase[50]
图 3 紧凑集成化几何坐标变换器件。(a) 基于光学变换的紧凑OAM模式解复用衍射光学元件的设计、工作原理，展开器和校正器元件集成于一个玻璃基板[52]；(b) 非傍轴型OAM模式分类器[53]；(c) 3D激光直写制备的集成模式分类器的扫描电子显微镜照片[54]
Figure 3. Compact integrated geometric coordinate transformation device. (a) Design and working principle of the compact OAM mode decomposition multiplexing diffracted optical elements based on optical transformation, with the expander and rectifier elements integrated on one glass substrate[52]; (b) Non-paraxial OAM mode sorter[53]; (c) SEM picture of the combined mode sorter fabricated by 3D laser printing[54]
图 6 多平面几何坐标变换。（a）基于MPLC的LG模式分类器，直角坐标系某位置处的高斯光束经过MPLC后，转换为对应阶数的LG模式[62]；（b）加工的透射型MPLC器件，可将不同拓扑荷的LG模式转换为不同位置处的高斯光[64]；（c）基于光衍射神经网络的涡旋光转换器[67]
Figure 6. Multi-plane light conversion. (a) LG mode classifier based on MPLC. Gaussian beam at a certain position in Cartesian coordinate system is converted to LG mode of corresponding order after passing through MPLC[62]; (b) Fabricated transmissive MPLC device, which generates Gaussian spots at different positions from incident LG modes of different topological charge[64]; (c) Optical vortex converter based on optical diffraction neural network[67]
图 9 经典和量子通信用几何坐标变换。（a）经典OAM-MDM-WDM光通信系统及螺旋变换原理示意图[79]；（b）高维度路径纠缠向OAM纠缠的转移[80]
Figure 9. Geometric transformation for classical and quantum optical communication. (a) Schematic diagram of classical OAM-MDM-WDM optical communication system and spiral coordinate transformation principle[79]; (b) High dimensional entanglement transfer from path to OAM degree of freedom[80]
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