非本征光纤法珀传感(Extrinsic Fabry-Perot Interferometric, EFPI)是当下光纤传感器研究领域的一个重要分支，因为易于集成且不受电磁干扰等优点^[1]，在复合材料、大型建筑结构、军工产品等的结构健康自诊断、医疗微创器械位置追踪等领域都有广阔的应用前景^[2]。随着传感技术的发展，在如超大规模集成电路制作、复杂环境下的探测等领域都需要更高精度的传感器^[3]，而对其光谱解调方法是决定其能否实现高精度测量的关键。

EFPI传感器腔长信号解调方法主要分为强度解调和相位解调。强度解调法原理简单且成本低^[4]，但光源自身稳定因素的影响对解调结果影响较大，精确度不高。三波长自适应强度解调法可以解决光源稳定问题^[5]，且测量范围大，但是解调速度慢。传统相位解调法有高灵敏度高分辨率等优点，但仍然不适合高速测量^[6]。田培廷^[7]提出将波长不同的2束呈正交光由单光纤经耦合器送入F-P腔，然后再通过密集波分复用器将两个波长的反射光分开并分别进行处理，在0～20 Hz的低频率范围内具有良好的线性响应。何文涛^[8]提出的采用复域相关法求取腔长的多腔长解调方法，先运用基于高斯拟合FFT算法粗略预估各个腔长，缩小腔长扫描范围，再对不同腔长的高精度解调，但计算次数仍然较多。Jia 等^[9]提出了一种动态信号恢复的对称解调方法，通过选择三个指定波长激光来引入干涉信号，其中两个信号对称于第三个，由此从干涉信号中恢复出动态信号，广泛运用于腔长未知条件下的测量。Liu 等^[10]提出双波长相位解调技术，通过高速波长切换，在一条普通光路上实现双波长相位查询，再利用MG-Y激光器的全光谱扫描，可以直接测量初始腔长和直流分量，然后选择两个正交波长实现高速相位解调。王伟、唐瑛等^[11]建立了一种短腔长复合式光纤法布里—珀罗压力传感器反射光谱的模型，提出了一种双参数椭圆拟合腔长解调算法。

针对传统光强解调会受到外界环境影响进而造成精度不高，文中提出了一种基于李萨如(Lissajous)图形与标准形式椭圆曲线拟合的解调算法，将输出光强沿光频坐标平移$ \alpha $个单位，得到两组相互相垂直的余弦振动信号。经过坐标变换拟合为标准椭圆曲线，并通过经验模态分解方法对数据进行分析，去余项后得到极值点代入椭圆曲线求解参数，根据已得参数求相位差解腔长，结果表明，此算法解调出的腔长大小平均误差为3.860%，并搭建应力实验系统，加载五组不同的横向负载作用力，解调出腔长差与理论平均误差5.690%，精度较高。

根据EFPI的传感机理可知，假设光纤 EFPI 的两个反射端面的反射率相同，则光电检测器检测的输出干涉谱光强值I的表达式为：

式中：$ \lambda $为光纤 EFPI 的波长；R为光纤 EFPI 端面反射率（R<<1）；d为光纤 EFPI的腔长；I₀为入射光强；c为真空中的光速；v为光频。

由公式(1)可知，反射光强随真空中光频的变化呈近似余弦形式，为得到稳定椭圆的 Lissajous 图形，将输出光强沿光频坐标平移$ \alpha $个单位，可得到两组振幅相等，角频率相同的振动信号，表达式为：

将I与$ {I_\alpha } $分别作为横纵坐标进行合成，在相位差$ \alpha $不为极端值$ n\pi $时，可以得到Lissajous椭圆。通过对Lissajous图形进行椭圆参数拟合与极值点代入实现进一步解调。

用 Lissajous 图形将 EFPI 传感器的输出光谱处理为一个稳定的椭圆曲线后，为实现解调需要进行椭圆参数拟合。

反射光强I与平移信号$ {I_\alpha } $是频率相等、幅值相等，只有相位不同的两组信号。两组信号合成的 Lissajous 图形为椭圆，将原坐标系看为$ xy $，该椭圆长轴与X轴夹角45°，短轴与Y轴夹角45°。将坐标轴逆时针旋转45°，得到$ x'y' $坐标系，两坐标系点的变化为^[11]：

在变化后的坐标系建立新的椭圆标准方程：

式中：$ a $、$ b $分别为长短轴，代入两个坐标点可求得参数$ a $、$ b $。标准形式的椭圆参数方程，只涉及两个参数，只需求得两个极值点即可求得椭圆方程。

得到Lissajous图形之后进行椭圆曲线的拟合，信号I和信号$ {I_\alpha } $的相位差$ \varphi $由椭圆的长轴a与短轴b之比确定，信号的相位差的表达式为：

由相位差可以求得反射光强度$ I $的周期，表达式为^[12]：

由公式（1）可得，干涉光强的周期与腔长的关系为：

将公式（6）所求周期代入公式（7）计算得出EFPI传感器的腔长，表达式为：

文中采用环氧树脂胶熔接法制备EFPI传感器如图1所示，所得到的干涉谱以光频$ v $和光强$ I $为坐标，反射光强的曲线如图2所示，用精度为0.01 mm的显微镜进行腔长读取，实际为298 μm。

图  1  制作的EFPI传感器实物图

Figure 1.  Picture of EFPI sensor

图  2  EFPI传感器反射光谱

Figure 2.  EFPI sensor reflection spectrum

由于直接观测到的反射光谱看似平滑实则存在高频噪声，通过对干涉谱进行经验模态分解(Empirical Mode Decomposition, EMD)，可以将干涉谱中的高频噪声滤除，得到更为平滑的干涉谱。

EMD可以根据信号的的时间特征来自适应的将复杂信号分解成有限个本征模函数(Intrinsic Mode Function, IMF)，其中IMF要满足：（1）极值点和过零点差值小于等于1；（2）局部上下包络线平均为零^[13]。使用三次样条插值法得到局部上下包络线，求出均值$ M\left( t \right) $,与原始信号最差求得$ \omega \left( t \right) $，即为IMF1，剩余信号$ {\;\beta _1} $。将$ {\;\beta _1} $作为新的原始信号重复以上操作，直至信号单调或者不满足条件，分解的频率由高到低，表达式为：

式中：$ {F_s} $为原始信号；$ {\omega _i} $为计算出的IMF分量；$ {\;\beta _m} $为剩余信号。使用MATLAB编程，对干涉光谱采用EMD自适应分解共4层，其中第4层为余项式，EMD分解后的结果如图3所示。

图  3  反射光谱的EMD分解

Figure 3.  EMD decomposition of the reflection spectrum

显然IMF1为高频噪声信号，将原始信号减去IMF1即为去噪后的信号。图4(a)、(b)分别为处理前后的光谱波峰信号，由此可以看出，去噪后的光谱已较为平滑。

图  4  (a) 去噪前的波峰；(b)去噪后的波峰

Figure 4.  (a) Peak before denoising; (b) Peak after denoising

由于IMF4是余项（基线干扰信号），会对信号分析产生不利影响，故将其去除，去除余项后的光谱如图5所示。由图像可知，此时信号接近于余弦波，此时对其进行相移操作所合成的椭圆圆心在坐标原点，方便后续计算。

图  5  去除余项的反射光谱

Figure 5.  Reflection spectrum with remainder remove

为使测量误差最小，选取相移前的点坐标与相移后的同一x轴对应的纵坐标，构成一组对应点，通过两组对应点求得标准椭圆参数，并选择三种不同极值类型讨论以进行解调对比。

将离散数据移动10个点对应波形相移0.085 T，得到四个极值点(A、B、C、D)以及对应的相移点，如图6所示。采用双极大值（A、B）、双极小值（C、D）、极大值和极小值（A、D）的三种方式，进行Lissajous曲线拟合解调，计算长短轴a、b及相应腔长d，与腔长298 μm对比，求得相对误差。结果表明，选择极大值和极小值解调的方式误差最小为1.993%，如表1所示。

图  6  不同类型极值解调对比

Figure 6.  Comparison of different types of extreme value demodulation

将所得到的反射光谱在频率坐标上移动0.038 T（5个数据点），读取频率为193.461 T的极大值点与194.278 T的极小值点，如图7所示。

图  7  相移0.038 T的反射光谱

Figure 7.  Reflection spectrum with phase shift of 0.038 T

将两组信号的极值点代入公式（3），即可得到落在椭圆上的点，计算得出拟合椭圆的参数a=3354.702，b=765.866。对应的相位差$ \varphi $由公式（5）计算得出为25.910°，将得到的信号周期数值代入公式(8)，成功解调出传感器的腔长为285.171 μm，实际误差4.310%。为测试不同相移的影响，另做四组实验，将离散的光谱数据点分别移动10、15、20、25个点，对应的频率坐标分别为0.085 T、0.145 T、0.201 T、0.250 T，取相同的极值点进行解调并将结果记录如表2所示。

由此可知，相移在0.038~0.250 THz变化时，相位差φ变化范围在一个周期($0{{\sim}}\pi $)内，平均误差3.860%，相移在0.085 T时误差最小，为1.993%。

当相移超过一个周期时，此时选取的极值点会落在上一个波锋（谷）上，导致解调失败，可通过减小每组实验的步长，增大实验组数来确定周期范围。

图8为绘制解调出的Lissajous椭圆，x、y为原坐标轴，x’、y’为旋转坐标后的坐标轴。由图像可知，当相位差φ在$0{{\sim}}\pi$，椭圆长轴在原坐标轴的一三象限，当相位差在$\pi {{\sim}}2\pi$，椭圆长轴在原坐标轴二四象限。

图  8  不同相移所拟合的 Lissajous 椭圆

Figure 8.  Lissajous ellipse fitted by different phase shifts

为了验证该算法的可行性，搭建了EFPI传感器的解调实验装置，图9（a）所示为应力加载实验系统原理图。实验所采用的EFPI传感器腔长为206 μm，传感器长度为20 mm，采用Micron Optics的SI155解调仪，CML-1 H型应变力综合测试仪，BDCL-3型材料力学多功能实验台，现场装置如图9（b）所示。

图  9  (a) 应力实验系统原理图；(b) 现场装置图

Figure 9.  (a) Schematic diagram of pressure experiment system; (b) Field device diagram

在对EFPI传感器进行横向负载实验过程中，为减小误差，均采用相移0.085 T的方式进行解调，分别施加5、10、15、20、25 N的应力所得到的光谱与原干涉谱如图10所示。

图  10  不同横向负载下EFPI输出干涉谱

Figure 10.  EFPI output interference spectrum under different lateral loads

将实验得到的横向负载作用力下的干涉谱进行Lissajous曲线的绘制、椭圆曲线的拟合与EMD去基线处理后，解调出腔长的相关参数记录如表3所示。

利用腔长变化量的理论计算公式进行腔长变化量的计算，可表示为：

式中：L为EFPI传感器的长度，大小为20 mm；$ \varepsilon $为传感器在横向负载作用力下受到的应变。取5 N力下由COMSOL仿真计算出传感器所受应变大小为5.96 e−5，由公式（10）可知，腔长变化量随负载大小成正比。

由表3可知，在0~25 N范围内的横向负载作用力下，解调出的腔长平均误差为5.690%，腔长差随所施加负载增大而增大，与预期相符合。

将解调出的数据进行Lissajous图形的绘制，如图11所示，可以看出解调结果和实际相一致，解调具有良好的准确度。

图  11  不同横向负载拟合的Lissajous椭圆

Figure 11.  Lissajous ellipse fitted with different transverse loads

依据EFPI的反射光强近似呈余弦特性，提出了一种基于标准形式椭圆参数曲线拟合的解调算法。首先通过对反射光谱进行Lissajous处理，得到的椭圆曲线为椭圆长轴与X轴呈45°的椭圆曲线，选用了速度较快的标准参数形式，在对坐标轴进行变换后，进行椭圆曲线拟合，对得到的光谱数据进行EMD分解，并在去基线之后求得光谱的极值点进而求得椭圆相关参数。利用相位处理，完成了EFPI传感器的解调，选用腔长为298 μm的EFPI传感器器，分别采用了五次相移进行解调，并用206 μm的EFPI传感器进行横向负载实验，分析了横向负载下EFPI传感器腔长的解调结果并与实际相对比，计算了两者之间的误差，验证了解调算法的精确度。但还有一些不足，比如在相移实验中，当相移超过0.3 T，解调将失去准确度，这是因为此时相移α已超过信号的周期，选取的极值点经过平移落在了下一个波峰（波谷）中。在后续的研究中，可以尝试制作更多不同腔长不同类型的EFPI传感器的进行椭圆曲线的解调，提高其精度。